Simulacre d'Examen: Unitat 3

Solució detallada i puntuació:

a) Divisors de $36$: $\mathbf{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}$. (1 punt: 0,5 pt per trobar-los tots, 0,5 pt sense oblidar el 1 i el 36)

b) Primers: $\mathbf{2, 17, 37}$. Compostos: $\mathbf{9, 21, 49, 51}$. El $51$ és compost perquè $5 + 1 = 6$ (és divisible per $3$: $3 \cdot 17 = 51$). (1 punt: 0,5 pt classificació, 0,5 pt justificació del 51)

Solució detallada i puntuació:

• 420: Divisible per 2 (acaba en 0), per 3 ($4+2+0=6$), per 5 (acaba en 0) i per 10 (acaba en 0). Tots SÍ.

• 735: Per 2: NO (senar) | Per 3: SÍ ($7+3+5=15$) | Per 5: SÍ (acaba en 5) | Per 10: NO.

• 1.842: Per 2: SÍ (parell) | Per 3: SÍ ($1+8+4+2=15$, múltiple de 3) | Per 5: NO | Per 10: NO.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $72 : 2 = 36$ | $36 : 2 = 18$ | $18 : 2 = 9$ | $9 : 3 = 3$ | $3 : 3 = 1 \rightarrow \mathbf{72 = 2^3 \cdot 3^2}$

b) $180 : 2 = 90$ | $90 : 2 = 45$ | $45 : 3 = 15$ | $15 : 3 = 5$ | $5 : 5 = 1 \rightarrow \mathbf{180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5}$

Solució detallada i puntuació:

Factorització prèvia: $24 = 2^3 \cdot 3$ i $36 = 2^2 \cdot 3^2$. (0,5 punts)

• $\text{MCD}(24, 36) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = \mathbf{12}$ (factors comuns amb el menor exponent). (0,75 punts)

• $\text{MCM}(24, 36) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = \mathbf{72}$ (comuns i no comuns amb el major exponent). (0,75 punts)

Solució detallada i puntuació:

a) Es tracta d'un problema de repetició i coincidència en el futur, per tant cal calcular el MCM. (0,5 punts)
$15 = 3 \cdot 5$ | $20 = 2^2 \cdot 5$
$\text{MCM}(15, 20) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 15 = \mathbf{60\text{ minuts}}$ (coincideixen cada hora). (1 punt)

b) Si van coincidir a les 08:00 h, tornaran a coincidir al cap de 60 minuts: a les $\mathbf{09:00\text{ h del matí}}$. (0,5 punts)