←
1r d'ESO Tema 3: Divisibilitat
Unitat 03 • Matemàtiques 1r d'ESO

Divisibilitat: Múltiples, Divisors, MCM i MCD

Aprèn de forma autònoma a calcular múltiples i divisors, distingeix nombres primers de compostos, utilitza els criteris de divisibilitat ràpids i domina la factorització.

1

Múltiples i Divisors d'un nombre

Definicions bàsiques i relació de divisibilitat

• Els múltiples d'un nombre s'obtenen en multiplicar-lo per qualsevol nombre natural ($0, 1, 2, 3\dots$). Tot nombre té infinits múltiples. Per exemple, els múltiples positius de $3$ són $\{3, 6, 9, 12, 15, \dots\}$.
• Els divisors d'un nombre són aquells valors naturals que el divideixen de manera exacta (amb residu zero). El conjunt de divisors és finit. Per exemple, els divisors de $12$ són $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

Relació entre Múltiples i Divisors Esquema visual de múltiples i divisors

Pràctica 1: Càlcul de Múltiples i Divisors

0 / 8 resolts

Resol els exercicis interactius de múltiples i divisors:

1) 2n múltiple de 4 (exclòs 0):
2) 2n múltiple de 7 (exclòs 0):
3) $35$ és múltiple de $5$? (1=Sí, 0=No)
4) $48$ és múltiple de $6$? (1=Sí, 0=No)
5) Quants divisors té el $12$?
6) Quants divisors té el $18$?
7) Quants divisors té el $25$?
8) $7$ és divisor de $56$? (1=Sí, 0=No)
2

Nombres Primers i Compostos

Classificació segons el nombre de divisors

• Un nombre primer és aquell nombre natural més gran que $1$ que només té exactament dos divisors: l'unitat ($1$) i ell mateix. Els primers deu nombres primers són $\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\dots\}$.
• Un nombre compost és aquell que té més de dos divisors (es pot descompondre en un producte de factors més petits).
• Nota fonamental: El nombre $1$ no és ni primer ni compost perquè només té un únic divisor: ell mateix.

Taula de Primers i Compostos Nombres primers i compostos

Pràctica 2: Identificació de Nombres Primers i Compostos

0 / 8 resolts

Escriu el nombre de divisors de cada nombre per saber si és primer o compost:

1) Quants divisors té el $7$?
2) Quants divisors té el $9$?
3) Quants divisors té el $13$?
4) Quants divisors té el $1$?
5) Quants divisors té el $31$?
6) $46$ és compost? (1=Sí, 0=No)
7) Quants divisors té el $17$?
8) Quants divisors té el $43$?
3

Criteris de Divisibilitat

Regles ràpides sense haver de fer divisions llargues

Divisible per 2

El nombre acaba en $0$ o en xifra parella ($2, 4, 6, 8$).

Ex: $358$ és parell $\rightarrow$ divisible.
Divisible per 3

La suma de totes les seves xifres dona un múltiple de 3.

Ex: $123 \rightarrow 1+2+3=6$ $\rightarrow$ divisible.
Divisible per 5

L'última xifra del nombre és un $0$ o un $5$.

Ex: $745$ acaba en 5 $\rightarrow$ divisible.
Divisible per 10

L'última xifra del nombre és exactament un $0$.

Ex: $1.290$ acaba en 0 $\rightarrow$ divisible.

Pràctica 3: Aplicació de Criteris

0 / 8 resolts

Indica si es compleix la divisibilitat (1=Sí, 0=No):

1) $124$ per $2$?
2) $45$ per $3$?
3) $350$ per $5$?
4) $1.020$ per $10$?
5) $81$ per $3$?
6) $99$ per $2$?
7) $75$ per $5$?
8) $432$ per $3$?
4

Factorització en Factors Primers

Descomposició ordenada mitjançant divisions successives

Factoritzar un nombre compost consisteix a expressar-lo com un producte de factors primers. Per fer-ho, dividim el nombre successivament pel divisor primer més petit possible ($2, 3, 5, 7\dots$) fins a obtenir $1$ com a quocient final.

Exemple: Factorització de $60$

• $60 : 2 = 30$

• $30 : 2 = 15$

• $15 : 3 = 5$

• $5 : 5 = 1$

Expressió exponencial canònica: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

Esquema en Barra Vertical Esquema visual de factorització

Pràctica 4: Descomposició Factorial

0 / 8 resolts

Escriu el nombre de factors $2$ que té la seva factorització (exponent del 2):

1) $12 = 2^{\square} \cdot 3$ (exponent de 2)
2) $18 = 2^1 \cdot 3^{\square}$ (exponent de 3)
3) $24 = 2^{\square} \cdot 3$ (exponent de 2)
4) $36 = 2^2 \cdot 3^{\square}$ (exponent de 3)
5) $50 = 2 \cdot 5^{\square}$ (exponent de 5)
6) $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^{\square}$ (exp de 5)
7) $72 = 2^{\square} \cdot 3^2$ (exponent de 2)
8) $90 = 2 \cdot 3^{\square} \cdot 5$ (exp de 3)
5

Mínim Comú Múltiple i Màxim Comú Divisor

Regles pràctiques d'obtenció a partir dels factors primers

MCM (Mínim Comú Múltiple)

És el menor dels múltiples comuns positius entre dos o més nombres.

Regla de càlcul: Factors comuns i NO comuns amb el major exponent.
MCD (Màxim Comú Divisor)

És el més gran dels divisors que comparteixen dos o més nombres.

Regla de càlcul: Només factors comuns amb el menor exponent.
Comparació Visual MCM vs MCD Esquema visual de MCM i MCD

Pràctica 5: Càlcul de MCM i MCD

0 / 8 resolts

Resol les operacions de MCM i MCD:

1) $\text{MCM}(12, 15)$
2) $\text{MCD}(12, 15)$
3) $\text{MCM}(20, 30)$
4) $\text{MCD}(20, 30)$
5) $\text{MCM}(18, 27)$
6) $\text{MCD}(36, 54)$
7) $\text{MCM}(8, 12)$
8) $\text{MCD}(24, 36)$
Consolidació de la unitat

Avaluació Final del Tema 3

Comprova els teus coneixements de divisibilitat abans de fer el control oficial.

Qüestionari ràpid de repàs (4 preguntes)

1. Quin dels nombres següents és primer?

2. Un nombre és divisible per 3 si...

3. Quina és la factorització correcta de $12$?

4. Quant val el $\text{MCD}(12, 15)$?

Dossiers d'Examen Simulats (Puntuació sobre 10)

Simulacre Model A

Control estàndard de divisibilitat amb barem oficial

→
Simulacre Model B

Model alternatiu de problemes aplicats de MCM i MCD

→