Simulacre d'Examen: Unitat 3

Solució detallada i puntuació:

a) Múltiples de $9$ entre 40 i 85: $\mathbf{45, 54, 63, 72, 81}$. (1 punt)

b) Per definició, un nombre primer ha de tenir exactament dos divisors diferents: l'1 i ell mateix. El nombre $1$ només té un únic divisor (ell mateix), per la qual cosa no compleix la definició de nombre primer. (1 punt)

Solució detallada i puntuació:

a) Perquè sigui divisible per 2 i per 5 alhora, ha d'acabar obligatòriament en $0$. Per tant, la xifra és $\mathbf{0}$ (el nombre és $520$). (1 punt)

b) Sumem les xifres conegudes: $4 + 1 = 5$. Per ser múltiple de 3, la suma total pot ser $6, 9$ o $12$. Per tant, $\square$ pot valer $\mathbf{1}$ ($411$), $\mathbf{4}$ ($441$) o $\mathbf{7}$ ($471$). (1 punt: 0,33 pt per cada valor trobat)

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $90 : 2 = 45$ | $45 : 3 = 15$ | $15 : 3 = 5$ | $5 : 5 = 1 \rightarrow \mathbf{90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5}$

b) $126 : 2 = 63$ | $63 : 3 = 21$ | $21 : 3 = 7$ | $7 : 7 = 1 \rightarrow \mathbf{126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7}$

Solució detallada i puntuació:

a) $45 = 3^2 \cdot 5$ i $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
$\text{MCD}(45, 60) = 3 \cdot 5 = \mathbf{15}$. (1 punt)

b) $12 = 2^2 \cdot 3$, $18 = 2 \cdot 3^2$, $24 = 2^3 \cdot 3$.
$\text{MCM}(12, 18, 24) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = \mathbf{72}$. (1 punt)

Solució detallada i puntuació:

a) Es tracta de dividir o tallar en trossos màxims sense sobres, per tant cal calcular el MCD. (0,5 punts)
$48 = 2^4 \cdot 3$ | $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
$\text{MCD}(48, 60) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = \mathbf{12\text{ cm}}$ mesurarà cada tros. (1 punt)

b) Del primer llistó: $48 : 12 = 4\text{ trossos}$. Del segon llistó: $60 : 12 = 5\text{ trossos}$. En total obtindrà $4 + 5 = \mathbf{9\text{ trossos}}$. (0,5 punts)