Simulacre d'Examen: Unitat 3

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Costat major: $9$. Comparem: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Com que $9^2 = 81$ i $100 > 81$, la suma dels quadrats és més gran que el quadrat del costat llarg. És un triangle acutangle.

b) Costat major: $26$. Comparem: $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$. Com que $26^2 = 676$, es compleix $10^2 + 24^2 = 26^2$. És un triangle rectangle.

Solució detallada i puntuació:

a) La meitat de la base és $\frac{12}{2} = 6\text{ cm}$. La hipotenusa és el costat igual ($10\text{ cm}$).
Altura (catet): $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = \mathbf{8\text{ cm}}$. (1 punt)

b) $\text{Àrea} = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{12 \cdot 8}{2} = \mathbf{48\text{ cm}^2}$. (1 punt)

Solució detallada i puntuació:

a) Els catets són les semidiagonals: $\frac{16}{2} = 8\text{ cm}$ i $\frac{12}{2} = 6\text{ cm}$.
El costat del rombe és la hipotenusa: $l = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = \mathbf{10\text{ cm}}$. (1 punt)

b) $\text{Perímetre} = 4 \cdot l = 4 \cdot 10 = \mathbf{40\text{ cm}}$. (1 punt)

Solució detallada i puntuació:

a) La base del triangle rectangle és la diferència de bases: $B - b = 15 - 10 = \mathbf{5\text{ cm}}$.

b) Els catets són $5\text{ cm}$ i l'altura $12\text{ cm}$. El costat oblic és la hipotenusa:
$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = \mathbf{13\text{ cm}}$.

Solució detallada i puntuació:

a) Vorejant els dos costats: $60 + 80 = \mathbf{140\text{ metres}}$. (0,5 punts)

b) Camí en diagonal (hipotenusa): $d = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3.600 + 6.400} = \sqrt{10.000} = \mathbf{100\text{ metres}}$.
Estalvi: $140 - 100 = \mathbf{40\text{ metres d'estalvi}}$. (1,5 punts: 1 pt diagonal, 0,5 pt estalvi)