Simulacre d'Examen: Unitat 2

Solució detallada i puntuació:

a) Pel principi multiplicatiu: $4 \cdot 3 \cdot 3 = \mathbf{36\text{ menús diferents}}$. (1 punt)

b) Sense postres: $4 \cdot 3 = \mathbf{12\text{ combinacions}}$. L'esquema d'arbre amb 2 primers ($P_1, P_2$) i 2 segons ($S_1, S_2$) ramifica $P_1 \to S_1, S_2$ i $P_2 \to S_1, S_2$ donant 4 branques finals ($P_1S_1, P_1S_2, P_2S_1, P_2S_2$). (1 punt: 0,5 pt càlcul, 0,5 pt esquema)

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Intervenen tots els elements i importa l'ordre: $P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = \mathbf{720\text{ maneres}}$.

b) Total de paraules: $P_5 = 5! = 120\text{ paraules}$. Si fixem la $\text{P}$ a la primera posició, permutem les $4$ lletres restants: $P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = \mathbf{24\text{ paraules}}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Importa l'ordre (podi) i no es pot repetir atleta: $V_{8,3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = \mathbf{336\text{ podis possibles}}$.

b) Importa l'ordre dels dígits i es poden repetir ($n=10, m=4$): $VR_{10,4} = 10^4 = \mathbf{10.000\text{ codis PIN}}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) No importa l'ordre (comissió sense càrrecs): $C_{10,3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = \mathbf{120\text{ comissions}}$.

b) No importa l'ordre en què posin les boles a la terrina: $C_{8,2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = \frac{56}{2} = \mathbf{28\text{ combinacions de sabors}}$.

Solució detallada i puntuació:

Situació 1: Com que el 6 és fix, falten 8 dígits (del 0 al 9). L'ordre SÍ importa i SÍ es poden repetir. Són variacions amb repetició: $VR_{10,8} = 10^8 = \mathbf{100.000.000\text{ números}}$. (1 punt: 0,5 pt justificació, 0,5 pt càlcul)

Situació 2: Una partida enfronta 2 jugadors. L'ordre NO importa (la partida entre A i B és la mateixa que entre B i A) i NO es pot repetir jugador. Són combinacions: $C_{12,2} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = \frac{132}{2} = \mathbf{66\text{ partides}}$. (1 punt: 0,5 pt justificació, 0,5 pt càlcul)