←
3r d'ESO Tema 2: Combinatòria
Unitat 02 • Matemàtiques 3r d'ESO

Combinatòria: Organitzar, Ordenar i Comptar

Descobreix de manera autònoma com comptar de manera sistemàtica sense oblidar cap opció. Aprèn a utilitzar diagrames d'arbre, permutacions, variacions i combinacions.

1

Estratègies de Recompte i Diagrames d'Arbre

Visualització sistemàtica de decisions i opcions

La combinatòria s'ocupa d'organitzar i comptar de manera sistemàtica. Els diagrames d'arbre ens permeten visualitzar totes les opcions possibles ramificant les nostres decisions pas a pas sense errors ni repeticions.

Esquema Visual de Combinatòria Esquema visual de combinatòria
2

Permutacions ($P_n$)

Ordenació de tots els elements d'un conjunt

Sempre que tenim un conjunt de $n$ elements i els volem ordenar tots ells de totes les maneres possibles (on l'ordre sí que importa), parlem de permutacions.

Fórmula i Factorial:

• Es calcula amb el factorial: $P_n = n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1$.

• Exemple: ordenar 3 llibres $\rightarrow P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ maneres.

Esquema de Permutacions Permutacions

Pràctica 1: Permutacions

0 / 10 resolts

Resol de manera autònoma cada problema de permutacions i factorials:

1) $P_4$
2) $P_5$
3) Ordenar 3 llibres
4) Fila de 6 persones
5) Aparcar 4 cotxes
6) $P_6$
7) Penjar 5 quadres
8) 4 amics en cadires
9) $P_3$
10) Meta 7 corredors
3

Variacions ($V_{n,m}$ i $VR_{n,m}$)

Elecció de subgrups on l'ordre importa

Quan d'un total de $n$ elements escollim grups de $m$ elements on l'ordre sí que importa:

Sense repetició ($V_{n,m}$):

$V_{n,m} = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-m+1)$

Amb repetició ($VR_{n,m}$):

$VR_{n,m} = n^m$

Esquema de Variacions Variacions

Pràctica 2: Variacions Sense Repetició

0 / 10 resolts

Calcula autònomament el resultat de cada variació sense repetició:

1) $V_{5,2}$
2) $V_{4,3}$
3) Podi de 8 atletes
4) Nombres de 2 xifres
5) $V_{6,2}$
6) Delegat i subdelegat
7) $V_{7,3}$
8) Paraules 3 lletres
9) $V_{10,2}$
10) 2 premis 6 equips

Pràctica 3: Variacions Amb Repetició

0 / 10 resolts

Calcula autònomament el resultat de cada variació amb repetició:

1) $VR_{3,2}$
2) $VR_{2,4}$
3) Quiniela 3 partits
4) Nombres de 3 xifres
5) $VR_{5,3}$
6) Codis PIN 4 dígits
7) $VR_{6,2}$
8) 3 monedes
9) $VR_{10,3}$
10) Paraules 4 lletres
4

Combinacions ($C_{n,m}$)

Grups on l'ordre no importa

S'utilitzen quan volem formar grups de $m$ elements escollits d'un total de $n$ on l'ordre no importa (per exemple, comissions o equips).

$$C_{n,m} = \binom{n}{m} = \frac{V_{n,m}}{P_m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$
Esquema de Combinacions Combinacions

Pràctica 4: Combinacions

0 / 10 resolts

Calcula autònomament el resultat de cada combinació:

1) $C_{5,2}$
2) $C_{6,3}$
3) Premis 10 participants
4) 2 llibres de 7
5) $C_{4,2}$
6) Comissió 3 de 9
7) $C_{8,4}$
8) Mans 4 cartes (40)
9) $C_{10,2}$
10) Equips 5 de 12
Consolidació de la unitat

Avaluació Final del Tema 2 (3r d'ESO)

Comprova el teu nivell amb el test ràpid de 4 preguntes i els exàmens de mostra oficials.

Qüestionari ràpid de repàs (4 preguntes)

1. En quina tècnica combinatòria no importa l'ordre?

2. Quin és el valor de $4!$ (factorial de 4)?

3. Quina fórmula s'utilitza si l'ordre importa i es permet repetir?

4. Quants elements té una permutació de 5 elements ($P_5$)?

Dossiers d'Examen Simulats (Puntuació sobre 10)

Simulacre Model A

Control oficial de combinatòria

→
Simulacre Model B

Model alternatiu de pràctica i resolució

→