Simulacre d'Examen: Unitat 3

Solució detallada i puntuació:

a) $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$; té $N = \mathbf{12\text{ elements}}$. (0,5 punts)

b) • $A = \{4, 8, 12\}$ (succés compost).
• $B = \{2, 3, 5\}$ (succés compost).
• $C = \emptyset$ (és un succés impossible, ja que cap cara és major que 12).
(1,5 punts: 0,5 pt per cada succés)

Solució detallada (0,5 punts per apartat):

a) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12\}$ (elements d'$A$, de $B$ o de tots dos).

b) $A \cap B = \{2, 4, 6, 12\}$ (elements comuns).

c) $\bar{A} = \{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ (nombres senars).

d) No són incompatibles, perquè la seva intersecció no és buida ($A \cap B \neq \emptyset$).

Solució detallada (0,5 punts per apartat):

a) Hi ha 4 asos: $P(\text{As}) = \frac{4}{40} = \mathbf{\frac{1}{10} = 10\%}$.

b) Hi ha 10 copes: $P(\text{Copes}) = \frac{10}{40} = \mathbf{\frac{1}{4} = 25\%}$.

c) Hi ha 3 figures per pal ($3 \cdot 4 = 12$ figures): $P(\text{Figura}) = \frac{12}{40} = \mathbf{\frac{3}{10} = 30\%}$.

d) Per la probabilitat del contrari: $P(\overline{\text{Or}}) = 1 - P(\text{Or}) = 1 - \frac{10}{40} = \frac{30}{40} = \mathbf{\frac{3}{4} = 75\%}$.

Solució detallada i puntuació:

a) $P(F \cup B) = P(F) + P(B) - P(F \cap B) = 0,60 + 0,40 - 0,20 = \mathbf{0,80\text{ (o } 80\%)}$. (1 punt pel plantejament i el càlcul)

b) No practicar cap esport és el succés contrari a practicar-ne almenys un: $P(\overline{F \cup B}) = 1 - P(F \cup B) = 1 - 0,80 = \mathbf{0,20\text{ (o } 20\%)}$. (1 punt)

Solució detallada i puntuació:

a) Els esdeveniments són independents perquè el nombre total de boles no canvia ($8$ boles en cada tirada):
$P(V_1 \cap V_2) = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \mathbf{\frac{25}{64} \approx 0,3906\text{ (39,06\%)}}$.

b) Els esdeveniments són dependents perquè per a la segona extracció només queden $7$ boles a l'urna:
$P(V_1 \cap B_2) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \mathbf{\frac{15}{56} \approx 0,2679\text{ (26,79\%)}}$.