Simulacre d'Examen: Unitat 3

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Parells que sumen 7: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ $\implies$ 6 casos favorables.
$P(\text{Suma } 7) = \frac{6}{36} = \mathbf{\frac{1}{6} \approx 16,67\%}$.

b) Suma major que 10 (sumes 11 o 12): $(5,6), (6,5), (6,6)$ $\implies$ 3 casos favorables.
$P(\text{Suma } > 10) = \frac{3}{36} = \mathbf{\frac{1}{12} \approx 8,33\%}$.
Suma igual a 1: Com que el valor mínim és $1+1=2$, la suma 1 és un succés impossible $\implies P(\text{Suma } 1) = \mathbf{0}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Espai mostral: $\Omega = \{\text{CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX}\}$. Hi ha $2^3 = \mathbf{8\text{ resultats possibles}}$. (1 punt)

b) • Exactament dues cares: $\{\text{CCX, CXC, XCC}\}$ (3 casos): $P = \mathbf{\frac{3}{8} = 37,5\%}$.
• Almenys una creu: És el contrari de "cap creu" (és a dir, treure 3 cares, $\{\text{CCC}\}$): $P = 1 - \frac{1}{8} = \mathbf{\frac{7}{8} = 87,5\%}$.
(1 punt: 0,5 pt cadascuna)

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $P(\text{Noi}) = \frac{40}{100} = \mathbf{0,40\text{ (40\%)}}$. $P(\text{Francès}) = \frac{30}{100} = \mathbf{0,30\text{ (30\%)}}$.

b) • Noia i anglès (intersecció): $\frac{40}{100} = \mathbf{0,40\text{ (40\%)}}$.
• Condicionada (sabent que és noi, mirem només la columna de nois sobre 40): $\frac{30}{40} = \mathbf{\frac{3}{4} = 75\%}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Fallar un tir: $P(\text{Falla}) = 1 - 0,85 = \mathbf{0,15\text{ (15\%)}}$.
Fallar dos tirs consecutius (independents): $0,15 \cdot 0,15 = \mathbf{0,0225\text{ (2,25\%)}}$.

b) De la fórmula $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ aïllem la intersecció:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0,5 + 0,4 - 0,7 = \mathbf{0,2}$.
Com que $P(A \cap B) = 0,2 \neq 0$, no són incompatibles.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Hi ha 10 bastos d'un total de 40. A la segona extracció en queden 9 de bastos sobre 39 cartes:
$P(B_1 \cap B_2) = \frac{10}{40} \cdot \frac{9}{39} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{13} = \mathbf{\frac{3}{52} \approx 0,0577\text{ (5,77\%)}}$.

b) Hi ha 4 reis i 36 cartes que no són reis:
$P(\text{Rei}_1 \cap \overline{\text{Rei}}_2) = \frac{4}{40} \cdot \frac{36}{39} = \frac{1}{10} \cdot \frac{12}{13} = \frac{12}{130} = \mathbf{\frac{6}{65} \approx 0,0923\text{ (9,23\%)}}$.