Simulacre d'Examen: Unitat 4

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Desenvolupem: $(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$. Suma per diferència: $(2x + 1)(2x - 1) = 4x^2 - 1$.
Resta: $(4x^2 - 12x + 9) - (4x^2 - 1) = 4x^2 - 12x + 9 - 4x^2 + 1 = \mathbf{-12x + 10}$.

b) Desenvolupem: $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$ i $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$.
Operem: $(x^2 + 8x + 16) - 2(x^2 - 6x + 9) = x^2 + 8x + 16 - 2x^2 + 12x - 18 = \mathbf{-x^2 + 20x - 2}$.

Solució detallada i puntuació:

1. $\text{mcm}(3, 4, 6, 2) = 12$. Multipliquem tots els termes per 12:
$4(2x - 1) - 3(x - 3) = 2(3x + 1) - 6$. (0,5 punts)
2. Eliminem parèntesis amb compte amb el signe menys:
$8x - 4 - 3x + 9 = 6x + 2 - 6 \rightarrow 5x + 5 = 6x - 4$. (0,5 punts)
3. Aïllem la incògnita:
$5x - 6x = -4 - 5 \rightarrow -x = -9 \rightarrow \mathbf{x = 9}$. (1 punt)

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Substitució:
Aïllem $x$ de la 1a equació: $x = 2 + 3y$.
Substituïm a la 2a: $2(2 + 3y) + 5y = 15 \rightarrow 4 + 6y + 5y = 15 \rightarrow 11y = 11 \rightarrow \mathbf{y = 1}$.
Trobem $x$: $x = 2 + 3(1) = \mathbf{5}$. Solució: $\mathbf{(5, 1)}$.

b) Igualació:
Aïllem $y$ a totes dues equacions: $y = 7 - 3x$ i $y = 2x - 3$.
Igualem: $7 - 3x = 2x - 3 \rightarrow 7 + 3 = 2x + 3x \rightarrow 10 = 5x \rightarrow \mathbf{x = 2}$.
Trobem $y$: $y = 7 - 3(2) = 7 - 6 = \mathbf{1}$. Solució: $\mathbf{(2, 1)}$.

Solució detallada i puntuació:

1. Simplifiquem la 1a equació:
$3x + 3 - 2y + 2 = 9 \rightarrow 3x - 2y + 5 = 9 \rightarrow 3x - 2y = 4$. (0,5 punts)
El sistema queda: $\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$
2. Apliquem reducció (multipliquem la 1a per 3 i la 2a per 2 per eliminar la $y$):
$\begin{cases} 9x - 6y = 12 \\ 4x + 6y = 14 \end{cases}$
Sumem en vertical: $13x = 26 \rightarrow \mathbf{x = 2}$. (1 punt)
3. Trobem $y$ substituint $x = 2$ a la 2a equació: $2(2) + 3y = 7 \rightarrow 4 + 3y = 7 \rightarrow 3y = 3 \rightarrow \mathbf{y = 1}$.
Solució final: $\mathbf{(2, 1)}$. (0,5 punts)

Solució detallada i puntuació:

a) Siguin: $x =$ nombre d'entrades d'adult; $y =$ nombre d'entrades d'infant.
Sistema: $\begin{cases} x + y = 220 \\ 8x + 5y = 1.520 \end{cases}$ (1 punt pel plantejament)

b) Resolem per substitució: $y = 220 - x$.
Substituïm: $8x + 5(220 - x) = 1.520 \rightarrow 8x + 1.100 - 5x = 1.520 \rightarrow 3x = 420 \rightarrow \mathbf{x = 140\text{ entrades d'adult}}$.
Calculem $y$: $y = 220 - 140 = \mathbf{80\text{ entrades d'infant}}$. (1 punt pel càlcul i resposta contextualitzada)