Equacions amb denominadors, sistemes fraccionaris i classificació de solucions
Temps límit: 45 minuts
Normativa: Sense calculadora. Es penalitzarà no justificar el mètode escollit per resoldre cada sistema.
Puntuació: 2 punts per exercici resolt amb tots els desenvolupaments correctes.
Expressa els polinomis següents com a quadrat d'un binomi o com a suma per diferència:
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) $9x^2 = (3x)^2$, $4 = 2^2$ i el doble producte és $2(3x)(2) = 12x$. Per tant, equival a: $\mathbf{(3x + 2)^2}$.
b) Diferència de dos quadrats: $(5x)^2 - 4^2 = \mathbf{(5x + 4)(5x - 4)}$.
Resol l'equació eliminant denominadors mitjançant el m.c.m.:
Solució detallada i puntuació:
1. $\text{mcm}(2, 3, 6) = 6$. Multipliquem per 6:
$3 \cdot 3(x - 1) - 2 \cdot 2(x + 1) = 1(x + 7) \rightarrow 9(x - 1) - 4(x + 1) = x + 7$. (0,5 punts)
2. Distributiva:
$9x - 9 - 4x - 4 = x + 7 \rightarrow 5x - 13 = x + 7$. (0,5 punts)
3. Aïllem:
$5x - x = 7 + 13 \rightarrow 4x = 20 \rightarrow \mathbf{x = 5}$. (1 punt)
Elimina les fraccions de la primera equació i resol el sistema pel mètode que prefereixis:
Solució detallada i puntuació:
1. Eliminem denominadors a la 1a equació ($\text{mcm}(2,3) = 6$):
$6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{y}{3} = 6 \cdot 4 \rightarrow 3x + 2y = 24$. (0,5 punts)
El sistema queda: $\begin{cases} 3x + 2y = 24 \\ x - y = 3 \end{cases}$
2. Per substitució ($x = y + 3$):
$3(y + 3) + 2y = 24 \rightarrow 3y + 9 + 2y = 24 \rightarrow 5y = 15 \rightarrow \mathbf{y = 3}$. (1 punt)
3. Trobem $x$: $x = 3 + 3 = \mathbf{6}$. Solució: $\mathbf{(6, 3)}$. (0,5 punts)
Resol cadascun d'aquests sistemes i indica si és Compatible Determinat (solució única), Compatible Indeterminat (infinites solucions) o Incompatible (sense solució):
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) Si multipliquem la 1a equació per $-2$: $\begin{cases} -4x + 2y = -8 \\ 4x - 2y = 8 \end{cases}$.
Sumem en vertical: $0x + 0y = 0 \rightarrow \mathbf{0 = 0}$.
És un Sistema Compatible Indeterminat (infinites solucions; rectes coincidents).
b) Restem la 2a equació de la 1a: $(x - x) + (2y - 2y) = 5 - 1 \rightarrow \mathbf{0 = 4}$.
Com que $0 \neq 4$, és una contradicció: és un Sistema Incompatible (sense solució; rectes paral·leles).
La suma de les edats d'una mare i del seu fill és actualment de $54\text{ anys}$. Sabem que d'aquí a $2\text{ anys}$, l'edat de la mare serà exactament el triple de l'edat del fill.
Solució detallada i puntuació:
a) Siguin: mare $= x$, fill $= y$.
1. Suma actual: $x + y = 54$.
2. D'aquí a 2 anys: mare $= x + 2$, fill $= y + 2 \rightarrow x + 2 = 3(y + 2) \rightarrow x - 3y = 4$.
Sistema: $\begin{cases} x + y = 54 \\ x - 3y = 4 \end{cases}$ (1 punt pel plantejament)
b) Restem les dues equacions per reducció: $(x - x) + (y - (-3y)) = 54 - 4 \rightarrow 4y = 50 \rightarrow y = \mathbf{12,5\text{ anys}}$ (fill) i $x = 54 - 12,5 = \mathbf{41,5\text{ anys}}$ (mare). (1 punt)