Simulacre d'Examen: Unitat 1

Solució detallada i puntuació:

a) • $-3 \in \mathbf{\mathbb{Z}}$ (Enter).
• $\sqrt{49} = 7 \in \mathbf{\mathbb{N}}$ (Natural).
• $\sqrt{7} \in \mathbf{\mathbb{I}}$ (Irracional, decimal no periòdic infinit).
• $1,\widehat{27} \in \mathbf{\mathbb{Q}}$ (Racional periòdic pur).
(1 punt: 0,25 pt per nombre)

b) Periòdic mixt (un decimal a l'anteperíode i un al període):
$2,1\bar{5} = \frac{215 - 21}{90} = \frac{194}{90}$. Simplificant entre 2: $\mathbf{\frac{97}{45}}$. (1 punt: 0,5 pt fórmula/mètode, 0,5 pt fracció irreductible)

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Expressem tot en base 2 (com que $8 = 2^3$):
$\frac{2^{-3} \cdot 2^8 \cdot 2^3}{2^{5-2}} = \frac{2^{-3+8+3}}{2^3} = \frac{2^8}{2^3} = 2^{8-3} = \mathbf{2^5 = 32}$.

b) Invertim per tenir mateixa base o exponents positius:
$\left(\frac{5}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^3 \cdot 1 = \frac{5^2}{3^2} \cdot \frac{3^3}{5^3} = \frac{3^{3-2}}{5^{3-2}} = \mathbf{\frac{3}{5}}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Expressem tots dos termes a exponent $10^7$: $3,8 \cdot 10^6 = 0,38 \cdot 10^7$.
$(4,2 + 0,38) \cdot 10^7 = \mathbf{4,58 \cdot 10^7}$.

b) Numerador: $(1,2 \cdot 4) \cdot 10^{-3+8} = 4,8 \cdot 10^5$.
Divisió: $\frac{4,8 \cdot 10^5}{6 \cdot 10^2} = (4,8 : 6) \cdot 10^{5-2} = 0,8 \cdot 10^3 = \mathbf{8 \cdot 10^2}$ (o $800$).

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Descomposem en factors primers:
$\sqrt{50} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ | $\sqrt{18} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ | $\sqrt{98} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.
Suma: $3(5\sqrt{2}) - 2(3\sqrt{2}) + 7\sqrt{2} = 15\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 7\sqrt{2} = (15 - 6 + 7)\sqrt{2} = \mathbf{16\sqrt{2}}$.

b) Reduïm a índex comú ($\text{mcm}(2, 3) = 6$):
$\sqrt{2} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8}$ i $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[6]{(2^2)^2} = \sqrt[6]{2^4} = \sqrt[6]{16}$.
Producte: $\sqrt[6]{2^3 \cdot 2^4} = \sqrt[6]{2^7} = \mathbf{2\sqrt[6]{2}}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Multipliquem per $\sqrt{3}$ a dalt i a baix:
$\frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = \mathbf{2\sqrt{3}}$.

b) Multipliquem pel conjugat $(\sqrt{5} + 1)$:
$\frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{4(\sqrt{5} + 1)}{4} = \mathbf{\sqrt{5} + 1}$.