←
4t d'ESO Tema 1: Nombres Reals i Radicals
Temari 4t d'ESO
Unitat 01 • Matemàtiques 4t d'ESO

Els Nombres Reals, Potències i Radicals

Guia teòrica completa, bases d'orientació amb resolució guiada pas a pas i activitats pràctiques immediates amb comprovació interactiva de forma autònoma.

1

Classificació dels Nombres Reals i Jerarquia

Estructura dels conjunts numèrics

Els nombres es classifiquen en diferents estructures o conjunts numèrics segons les seves propietats. Observa la jerarquia estructural i la seva representació en diagrama de Venn:

Esquema General de Nombres Reals Esquema de nombres reals
Diagrama de Venn dels Conjunts Diagrama de Venn conjunts numèrics

Pràctica 1: Classificació de Nombres

0 / 10 resolts

Escriu el conjunt mínim (N, Z, Q, I, R) al qual pertany cada nombre:

1) $3$ (N, Z, Q, I, R)
2) $-7$
3) $\sqrt{16}$
4) $\sqrt{10}$
5) $-\frac{15}{3}$
6) $0,\widehat{45}$
7) $\sqrt[3]{-8}$
8) $\pi - 1$
9) $\frac{22}{7}$
10) $0$
2

Tipus de Decimals i Fracció Generatriu

Exactes, periòdics purs i mixtos

Tot nombre racional es pot expressar en forma de fracció irreductible mitjançant la seva fracció generatriu seguint l'estructura corresponent al seu tipus de desenvolupament decimal:

Decimal Exacte

Es divideix el nombre sense coma per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tingui.

$$0,35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$$
Periòdic Pur

Al numerador es resta el nombre complet sense coma menys la part sencera. Al denominador, tants 9 com xifres tingui el període.

$$1,\bar{34} = \frac{134 - 1}{99} = \frac{133}{99}$$
Periòdic Mixt

Numerador: nombre fins al període menys part no periòdica. Denominador: tants 9 com xifres periòdiques i tants 0 com anteperíodes.

$$0,3\bar{85} = \frac{385 - 3}{990} = \frac{191}{495}$$

Pràctica 2: Càlcul de Fraccions Generatrius

0 / 10 resolts

Escriu el numerador de la fracció generatriu irreductible per a cada nombre:

1) $1,25 \rightarrow \frac{?}{4}$
2) $3,2 \rightarrow \frac{?}{5}$
3) $0,\bar{3} \rightarrow \frac{?}{3}$
4) $2,\bar{45} \rightarrow \frac{?}{11}$
5) $0,1\bar{6} \rightarrow \frac{?}{6}$
6) $4,\bar{2} \rightarrow \frac{?}{9}$
7) $2,1\bar{3} \rightarrow \frac{?}{15}$
8) $0,005 \rightarrow \frac{?}{200}$
9) $5,12 \rightarrow \frac{?}{25}$
10) $0,\bar{18} \rightarrow \frac{?}{11}$
3

Propietats de les Potències i Bases d'Orientació

Regles d'operatòria i resolució guiada

Propietats Operatòries Fonamentals

Exponent zero $a^0 = 1 \quad (a \ne 0)$
Exponent negatiu $a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$
Producte mateixa base $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
Divisió mateixa base $a^n : a^m = \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
Potència d'una potència $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

Base d'Orientació: Resolució Pas a Pas

Exemple A: Producte amb bases inverses

$$\left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-5}$$

Pas 1: Invertim la base amb exponent negatiu: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{3}{2}\right)^5$.

Pas 2: Producte de mateixa base: $\left(\frac{3}{2}\right)^{2+5} = \mathbf{\left(\frac{3}{2}\right)^7}$.

Exemple B: Combinat amb signes

$$\left[\left(-\frac{1}{4}\right)^{-5} : (-4)^3\right]^2$$

Pas 1: Passem a base $(-4)$ invertint: $(-4)^5$.

Pas 2: Operem interior: $(-4)^{5-3} = (-4)^2$.

Pas 3: Potència d'una potència: $\left[(-4)^2\right]^2 = \mathbf{4^4 = 256}$.

Exemple C: Mateix exponent

$$\left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right)^2$$

Pas 1: Agrupem sota el mateix exponent: $\left(-\frac{10}{54}\right)^2$.

Pas 2: Simplifiquem la fracció: $\mathbf{\left(\frac{5}{27}\right)^2 = \frac{25}{729}}$.

Exemple D: Divisió fraccionària

$$\left[\left(\frac{12}{7}\right)^2 : \left(\frac{3}{14}\right)^2\right]^{-3}$$

Pas 1: Operem divisió: $(4 \cdot 2)^2 = 8^2$.

Pas 2: Exponent exterior: $(8^2)^{-3} = 8^{-6} = \mathbf{\frac{1}{8^6}}$.

Pràctica 3: Simplificació de Potències

0 / 10 resolts

Escriu l'exponent final de la potència simplificada (per exemple, per a $2^5$ escriu 5):

1) $2^3 \cdot 2^4 \cdot 2^{-2} = 2^{\square}$
2) $\frac{5^4 \cdot 5^{-2}}{5^3} = 5^{\square}$
3) $(a^{-2})^3 \cdot a^8 = a^{\square}$
4) $\frac{(-2)^3 \cdot (-2)^4}{(-2)^2} = (-2)^{\square}$
5) $(3^2)^3 : 3^4 = 3^{\square}$
6) $\frac{x^3 \cdot x^{-4}}{x^{-2}} = x^{\square}$
7) $\frac{(2^3)^2 \cdot 5^4}{2^4 \cdot 5^2} \rightarrow$ resultat numèric
8) $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^3 = (\frac{3}{2})^{\square}$
9) $\frac{7^{-2} \cdot 7^5}{7^2} = 7^{\square}$
10) $(a^3 \cdot a^{-1})^2 = a^{\square}$
4

Notació Científica i Operacions

Normalització i càlcul amb potències de base 10

Un nombre està normalitzat en notació científica si s'expressa de la forma $N \cdot 10^n$, on $1 \le |N| < 10$ i $n \in \mathbb{Z}$.

Exemple Correcte: $3,45 \cdot 10^8 \quad (1 \le 3,45 < 10)$
Cal Normalitzar: $45,2 \cdot 10^4 = 4,52 \cdot 10^5$

Base d'Orientació: Operacions en Notació Científica

Suma / Resta (Igualant exponents)

Exemple: $4,1 \cdot 10^5 + 2,3 \cdot 10^4$

1. Igualem: $0,23 \cdot 10^5$

2. Sumem: $\mathbf{4,33 \cdot 10^5}$

Multiplicació

Exemple: $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$

1. Multipliquem mantisses: $3 \cdot 2 = 6$

2. Sumem exponents: $10^9 \rightarrow \mathbf{6 \cdot 10^9}$

Divisió

Exemple: $(8 \cdot 10^7) : (4 \cdot 10^2)$

1. Dividim mantisses: $8 : 4 = 2$

2. Restem exponents: $\mathbf{2 \cdot 10^5}$

Potència

Exemple: $(2 \cdot 10^{-3})^3$

1. Elevem mantissa: $2^3 = 8$

2. Multipliquem exponent: $\mathbf{8 \cdot 10^{-9}}$

Pràctica 4: Operacions en Notació Científica

0 / 10 resolts

Escriu l'exponent final de la base 10 del resultat normalitzat (per exemple, per a $4,7 \cdot 10^4$ escriu 4):

1) $3,2 \cdot 10^4 + 1,5 \cdot 10^4 \rightarrow 10^{\square}$
2) $4,1 \cdot 10^5 + 2,3 \cdot 10^4 \rightarrow 10^{\square}$
3) $8,5 \cdot 10^{-3} - 2,1 \cdot 10^{-4} \rightarrow 10^{\square}$
4) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5) \rightarrow 10^{\square}$
5) $(8 \cdot 10^7) : (4 \cdot 10^2) \rightarrow 10^{\square}$
6) $(2 \cdot 10^{-3})^3 \rightarrow 10^{\square}$
7) $5,4 \cdot 10^{-6} \cdot 3 \cdot 10^8 \rightarrow 10^{\square}$
8) $(9 \cdot 10^{12}) : (3 \cdot 10^{-4}) \rightarrow 10^{\square}$
9) $1,2 \cdot 10^3 + 3,4 \cdot 10^2 \rightarrow 10^{\square}$
10) $(5 \cdot 10^2)^2 \rightarrow 10^{\square}$
5

Radicals: Nombre de Solucions i Operacions

Equivalència amb potències i càlculs

Un radical equival a una potència d'exponent fraccionari: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. El nombre de solucions reals depèn de la paritat de l'índex i el signe del radicand.

Quantes solucions té un radical real $\sqrt[n]{a}$?

Signe del Radicand ($a$) Índex Senar ($n$ senar) Índex Parell ($n$ parell)
Positiu ($a > 0$) 1 solució ($\sqrt[3]{64} = 4$) 2 solucions ($\sqrt{36} = \pm 6$)
Negatiu ($a < 0$) 1 solució ($\sqrt[3]{-8} = -2$) Cap solució real

Bases d'Orientació per a Operacions amb Radicals

1. Extracció de factors

$$\sqrt{75} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \mathbf{5\sqrt{3}}$$

2. Suma i resta de radicals semblants

$$\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = \mathbf{5\sqrt{2}}$$

3. Producte / Quocient mateix índex

$$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = \mathbf{4}$$

4. Producte / Quocient diferent índex

Exemple: $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \rightarrow \text{m.c.m.}(2,3)=6 \rightarrow \mathbf{2\sqrt[6]{2}}$

Pràctica 5: Operacions amb Radicals

0 / 10 resolts

Escriu el nombre que multiplica l'arrel o el resultat final (per exemple, per a $5\sqrt{2}$ escriu 5, per a $\sqrt{16}=4$ escriu 4):

1) $\sqrt{50} = ?\sqrt{2}$
2) $\sqrt[3]{24} = ?\sqrt[3]{3}$
3) $\sqrt{8} + \sqrt{18} = ?\sqrt{2}$
4) $\sqrt{32} - \sqrt{8} = ?\sqrt{2}$
5) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
6) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
7) $\sqrt{27} + \sqrt{12} = ?\sqrt{3}$
8) $\sqrt{50} - \sqrt{18} = ?\sqrt{2}$
9) $\sqrt{20} + \sqrt{45} = ?\sqrt{5}$
10) $\sqrt{98} - \sqrt{32} = ?\sqrt{2}$
6

Tècniques de Racionalització de Denominadors

Eliminació d'arrels al divisor

Racionalitzar consisteix a transformar una fracció amb radicals al denominador en una fracció equivalent sense arrels al divisor:

Cas 1: Arrel quadrada única

Multipliquem numerador i denominador per $\sqrt{b}$.

$$\frac{2}{\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$$
Cas 2: Arrel d'índex superior

Completem l'exponent per igualar a l'índex.

$$\frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \mathbf{\frac{\sqrt[3]{4}}{2}}$$
Cas 3: Suma/Resta (Conjugat)

Fem servir la identitat $(u+v)(u-v) = u^2 - v^2$.

$$\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \mathbf{\sqrt{5}+2}$$

Pràctica 6: Racionalització

0 / 10 resolts

Escriu el numerador (o factor principal) de l'expressió racionalitzada simplificada:

1) $\frac{2}{\sqrt{3}} \rightarrow$ coeficient de $\sqrt{3}$
2) $\frac{5}{\sqrt{5}}$ (radicand final)
3) $\frac{3}{2\sqrt{2}} \rightarrow$ numerador
4) $\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \rightarrow$ radicand interior de l'arrel
5) $\frac{1}{\sqrt{5}-2} \rightarrow$ enter de la suma
6) $\frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \rightarrow$ radicand major
7) $\frac{4}{3-\sqrt{5}} \rightarrow$ enter del resultat
8) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} \rightarrow$ denominador final
9) $\frac{6}{\sqrt{2}} \rightarrow$ enter del resultat
10) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \rightarrow$ denominador final
Consolidació de la unitat

Avaluació Final del Tema 1

Comprova el teu domini fent el test ràpid de 4 preguntes i resolent els exàmens de mostra.

Qüestionari ràpid de repàs (4 preguntes)

1. Quin conjunt NO inclou $\sqrt{7}$?

2. Quin és el resultat de $(2^3)^2$?

3. Quin és el resultat de racionalitzar $\frac{2}{\sqrt{3}}$?

4. Quina és la notació científica normalitzada de $45.000$?

Dossiers d'Examen Simulats (Puntuable sobre 10)

Simulacre Model A

Control estàndard amb criteris de correcció

→
Simulacre Model B

Model alternatiu de repàs previ al control

→