Simulacre d'Examen: Unitat 1

Solució detallada (0,5 punts per apartat):

a) Índex parell i radicand positiu $\implies$ té dues solucions reals: $\pm 3$.

b) Índex senar i radicand negatiu $\implies$ té una solució real negativa: $-4$.

c) Índex parell i radicand negatiu $\implies$ no té cap solució real (no existeix en $\mathbb{R}$).

d) Índex senar i radicand positiu $\implies$ té una solució real positiva: $2$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $\left(-\frac{1}{2}\right)^{-3} = (-2)^3 = -8$.
Divisió interior: $(-2)^3 : (-2)^2 = (-2)^{3-2} = (-2)^1 = -2$.
Elevem a -2: $(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \mathbf{\frac{1}{4}}$.

b) Expressem en base 3 ($9 = 3^2, 27 = 3^3$):
$\frac{3^{-2} \cdot (3^2)^2 \cdot (3^3)^{-1}}{3^{4-5}} = \frac{3^{-2} \cdot 3^4 \cdot 3^{-3}}{3^{-1}} = \frac{3^{-2+4-3}}{3^{-1}} = \frac{3^{-1}}{3^{-1}} = 3^0 = \mathbf{1}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Índex comú: $\text{mcm}(3, 2) = 6$. Com que $16 = 2^4$:
$\frac{\sqrt[3]{2^4}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt[6]{(2^4)^2}}{\sqrt[6]{2^3}} = \frac{\sqrt[6]{2^8}}{\sqrt[6]{2^3}} = \sqrt[6]{\frac{2^8}{2^3}} = \sqrt[6]{2^5} = \mathbf{\sqrt[6]{32}}$.

b) Multipliquem els índexs: $\sqrt[2 \cdot 3]{64a^{12}} = \sqrt[6]{2^6 \cdot a^{12}} = 2 \cdot a^{\frac{12}{6}} = \mathbf{2a^2}$.

Solució detallada i puntuació:

a) $\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = \mathbf{3\sqrt{3}\text{ cm}}$. $\sqrt{48} = \sqrt{2^4 \cdot 3} = 2^2\sqrt{3} = \mathbf{4\sqrt{3}\text{ cm}}$. (0,5 punts)

b) Pitàgores per la hipotenusa $c$:
$c = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{27 + 48} = \sqrt{75} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \mathbf{5\sqrt{3}\text{ cm}}$. (1 punt)
Perímetre: $3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = \mathbf{12\sqrt{3}\text{ cm}}$. (0,5 punts)

Solució detallada i puntuació:

a) Per completar la potència cúbica al denominador, multipliquem per $\sqrt[3]{5^2}$:
$\frac{10 \cdot \sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5^2}} = \frac{10\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5^3}} = \frac{10\sqrt[3]{25}}{5} = \mathbf{2\sqrt[3]{25}}$.

b) Multipliquem pel conjugat $(\sqrt{7} - \sqrt{5})$:
$\frac{6(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{6(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{6(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{6(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{2} = \mathbf{3(\sqrt{7} - \sqrt{5})}$ (o $3\sqrt{7} - 3\sqrt{5}$).