Simulacre d'Examen: Unitat 2

Solució detallada (0,5 punts per apartat):

a) $2^a = 64 \implies 2^a = 2^6 \implies \mathbf{a = 6}$.

b) $3^a = \frac{1}{27} \implies 3^a = 3^{-3} \implies \mathbf{a = -3}$.

c) $5^a = \sqrt{5^3} \implies 5^a = 5^{3/2} \implies \mathbf{a = \frac{3}{2} = 1,5}$.

d) Base 10: $10^a = 10^{-3} \implies \mathbf{a = -3}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $\log(x^3 \cdot \sqrt{y}) - \log(z^2) = \log(x^3) + \log(y^{1/2}) - \log(z^2) = \mathbf{3\log x + \frac{1}{2}\log y - 2\log z}$.

b) $\log(A^2) + \log(B^3) - \log(\sqrt{C}) = \log(A^2 \cdot B^3) - \log(\sqrt{C}) = \mathbf{\log \left(\frac{A^2 \cdot B^3}{\sqrt{C}}\right)}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Per definició: $x^5 = 243$. Descomponem $243 = 3^5 \implies x^5 = 3^5 \implies \mathbf{x = 3}$.

b) Agrupem en un sol logaritme el membre esquerre: $\log\left(\frac{3x - 1}{2}\right) = \log(x + 2)$.
Igualem arguments: $\frac{3x - 1}{2} = x + 2 \implies 3x - 1 = 2x + 4 \implies \mathbf{x = 5}$.
Comprovem: $3(5)-1=14 > 0$ i $5+2=7 > 0$. Válida.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $\text{Dom}(f) = \mathbf{\mathbb{R}}$ o $(-\infty, +\infty)$. Recorregut: $\mathbf{(0, +\infty)}$. Tall amb $OY$: $f(0) = 3^0 = 1 \implies \mathbf{(0, 1)}$. Com que la base $a = 3 > 1$, la funció és estrictament creixent.

b) Condició d'existència: $x - 2 > 0 \implies x > 2 \implies \text{Dom}(g) = \mathbf{(2, +\infty)}$.
Tall amb $OX$ ($g(x) = 0$): $\log_3(x - 2) = 0 \implies 3^0 = x - 2 \implies 1 = x - 2 \implies x = 3 \implies \mathbf{(3, 0)}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $\text{pH} = -\log (10^{-3}) = -(-3) = \mathbf{3}$.

b) $11 = -\log [H^+] \implies \log [H^+] = -11 \implies [H^+] = \mathbf{10^{-11}\text{ M}}$ (o $1 \cdot 10^{-11}\text{ mols/L}$).