←
4t d'ESO Tema 2: Logaritmes i Exponencials
Temari 4t d'ESO
Unitat 02 • Matemàtiques 4t d'ESO

Logaritmes i Funcions Exponencials

Apunts complets, integració progressiva de pràctica sota cada teoria, exercicis avançats d'aplicació de propietats i secció final gràfica per a funcions.

1

Definició i Utilitat dels Logaritmes

Concepte formal i relació amb potències

Els logaritmes ens permeten operar de forma eficaç amb nombres molt grans o molt petits transformant operacions complexes (multiplicacions, divisions, potències) en sumes i restes.

Definició Formal:

S'anomena logaritme en base $b$ de $C$ (amb $b > 0$ i $b \neq 1$) a l'exponent $a$ al qual cal elevar la base $b$ per obtenir $C$:

$$\log_b C = a \iff b^a = C$$
Condicions d'existència: L'argument $C$ ha de ser estrictament positiu ($C > 0$). La base $b$ ha de ser positiva i diferent de 1 ($b > 0, b \neq 1$).

Connexió entre Potències, Radicals i Logaritmes:

Potència $3^4 = 81$
Radical $\sqrt[4]{81} = 3$
Logaritme $\log_3 81 = 4$

Pràctica 1: Càlcul i Definició de Logaritmes

0 / 10 resolts

Calcula autònomament el valor numèric de cada logaritme:

1) $\log_2 32$
2) $\log_2 8$
3) $\log_3 81$
4) $\log_3 27$
5) $\log_4 16$
6) $\log 1000$
7) $\log 10$
8) $\log 0,0001$
9) $\log_5 125$
10) $\log_3 1$
2

Propietats dels Logaritmes i Aplicació Avançada

Regles d'operatòria i exercicis de nivell

Propietat Formulació Descripció
Logaritme de 1 $\log_b 1 = 0$ $b^0 = 1$
Logaritme de la base $\log_b b = 1$ $b^1 = b$
Producte $\log_b (a \cdot c) = \log_b a + \log_b c$ Suma de logaritmes
Quocient $\log_b \left(\frac{a}{c}\right) = \log_b a - \log_b c$ Resta de logaritmes
Potència $\log_b (a^y) = y \cdot \log_b a$ Exponent multiplicant

Activitats Avançades: Aplicació de Propietats i Definició

Resol aquests exercicis d'alt nivell combinant arrels, potències i les propietats logarítmiques:

Bloc A: Expressions amb Arrels i Exponents

1) $\ln\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{e^2}}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$

2) $\log_{\sqrt{3}}\frac{1}{81} = \mathbf{-8}$

3) $\log_2 128 = \mathbf{7}$

4) $\log_{1/2} 64 = \mathbf{-6}$

5) $\log_{1/\sqrt[3]{5}} \sqrt{125} = \mathbf{-\frac{9}{2}}$

6) $\log_5 0,04 = \mathbf{-2}$

7) $\log_{\sqrt[7]{100}} 10 = \mathbf{\frac{7}{2}}$

Bloc B: Simplificació de Fraccions Logarítmiques

a) $\log\frac{\sqrt{10} \cdot \sqrt[3]{0,1}}{\sqrt[4]{1000}} = \mathbf{-\frac{7}{12}}$

b) $\log_2\frac{\sqrt{8}\cdot\sqrt{2}}{16} = \mathbf{-\frac{9}{4}}$

c) $\log_3\frac{\sqrt[4]{27}}{(9\sqrt{3})^2} = \mathbf{-\frac{17}{4}}$

d) $\log_5\frac{125\sqrt[3]{5}}{25^3} = \mathbf{-\frac{8}{3}}$

Pràctica 2: Propietats i Càlcul de Bases

0 / 10 resolts

Calcula autònomament el valor de la incògnita o el resultat de l'operació logarítmica:

1) $\log_x 81 = 4 \rightarrow x$
2) $\log_a 125 = 3 \rightarrow a$
3) $\log_a 10000 = 2 \rightarrow a$
4) $\log_5 x = 2 \rightarrow x$
5) $\log_3 54 - \log_3 2$
6) $2\log_5 5$
7) $\log 100 + \log 1000$
8) $\log_2 32 - \log_2 4$
9) $\log_x 9 = 2 \rightarrow x$
10) $\log_2 64$
3

Funcions Exponencials

Equació general, comportament i gràfica

Tenen per equació general $f(x) = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$). El seu domini és $\mathbb{R}$ i el recorregut $(0, +\infty)$. Si $a > 1$ és creixent; si $0 < a < 1$ és decreixent.

Gràfica de la Funció Exponencial ($y = 2^x$ i $y = (1/2)^x$) Gràfica funció exponencial

Pràctica 3: Funcions Exponencials

0 / 10 resolts

Calcula autònomament el valor de la funció exponencial per a cada punt:

1) $f(x) = 2^x$ per $x=3$
2) $f(x) = 3^x$ per $x=2$
3) $f(x) = 10^x$ per $x=0$
4) $f(x) = 3^{x-1}$ per $x=3$ (resultat)
5) $f(x) = 2^{x+1}$ per $x=2$ (resultat)
6) $f(x) = 5^x$ per $x=1$
7) $f(x) = 2^x$ per $x=-1$ (escriu el nombre enter 0 si és decimal o posa 0.5)
8) $f(x) = 4^x$ per $x=0,5$ (resultat)
9) $f(x) = 2^x$ per $x=4$
10) $f(x) = 3^x$ per $x=3$
4

Funcions Logarítmiques

Inverses exponencials, domini i gràfica

Tenen per equació general $f(x) = \log_a x$. Són les funcions inverses de les exponencials. El seu domini és $(0, +\infty)$ i passen pel punt $(1, 0)$.

Gràfica de la Funció Logarítmica ($f(x) = \log_a x$) Gràfica funció logarítmica

Pràctica 4: Funcions Logarítmiques i Aplicacions

0 / 10 resolts

Calcula autònomament el valor de la funció logarítmica o l'inici del domini:

1) $\log_2 8$
2) $\log_3 9$
3) $\log_2 1$
4) $\log_5 25$
5) Domini de $\log_2(x-3) \rightarrow$ valor mínim d'obertura ($x > ?$)
6) pH si $[H^+]=10^{-7}$
7) $\log_2(1/2)$
8) $\log 100$
9) Magnitud sisme si $P=10^5$
10) Coordenada $x$ del tall OX de $\log_2 x$
Consolidació de la unitat

Avaluació Final del Tema 2

Comprova el teu domini fent el test ràpid de 4 preguntes i resolent els exàmens de mostra.

Qüestionari ràpid de repàs (4 preguntes)

1. Quant val $\log_3 81$?

2. Domini de $f(x) = \log_a x$?

3. Si $a > 1$, $f(x) = a^x$ és:

4. Quant val $\log_2 32$?

Dossiers d'Examen Simulats (Puntuable sobre 10)

Simulacre Model A

Control estàndard amb criteris de correcció

→
Simulacre Model B

Model alternatiu de repàs previ al control

→