Simulacre d'Examen: Unitat 2

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $(\sqrt{3})^x = \frac{1}{81} \implies (3^{1/2})^x = 3^{-4} \implies 3^{x/2} = 3^{-4} \implies \frac{x}{2} = -4 \implies \mathbf{x = -8}$.

b) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = 64 \implies (2^{-1})^x = 2^6 \implies 2^{-x} = 2^6 \implies -x = 6 \implies \mathbf{x = -6}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $12 = 2^2 \cdot 3 \implies \log 12 = \log(2^2 \cdot 3) = 2\log 2 + \log 3 = 2(0,301) + 0,477 = 0,602 + 0,477 = \mathbf{1,079}$.

b) $\log 5 = \log\left(\frac{10}{2}\right) = \log 10 - \log 2 = 1 - 0,301 = \mathbf{0,699}$.

Solució detallada i puntuació:

Expressem tot en potències de base 2 dins l'argument:
• $\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2^{3/2}$.
• $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$.
• $16 = 2^4$.
Operem exponents: $\frac{2^{3/2} \cdot 2^{1/3}}{2^4} = 2^{\frac{3}{2} + \frac{1}{3} - 4}$. (1 punt)
Comú denominador: $\frac{9}{6} + \frac{2}{6} - \frac{24}{6} = -\frac{13}{6}$.
Per tant: $\log_2 \left(2^{-13/6}\right) = \mathbf{-\frac{13}{6}}$. (1 punt)

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) En ser funcions inverses s'intercanvien les coordenades $(x, y) \leftrightarrow (y, x)$:
Els punts de $g(x) = \log_2 x$ són: $\mathbf{(1/2, -1)}$, $\mathbf{(1, 0)}$ i $\mathbf{(8, 3)}$.

b) Són simètriques respecte de la bisectriu del primer i tercer quadrant, és a dir, la recta d'equació $\mathbf{y = x}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Per a $t = 3$: $M(3) = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 100 \cdot \frac{1}{8} = \frac{100}{8} = \mathbf{12,5\text{ grams}}$.

b) Plantegem l'equació: $100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^t = \frac{100}{64} \implies \left(\frac{1}{2}\right)^t = \frac{1}{64}$.
Com que $64 = 2^6 \implies \left(\frac{1}{2}\right)^t = \left(\frac{1}{2}\right)^6 \implies \mathbf{t = 6\text{ anys}}$.