Simulacre d'Examen: Unitat 3

Solució detallada i puntuació:

a) Substituïm $x = -2$ als dos membres:
1r membre: $2(-2 + 5) - (-2)^2 = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$.
2n membre: $3(-2 + 2) = 3(0) = 0$.
Com que $2 \neq 0$, $x = -2$ NO és solució. (0,75 punts)

b) Desenvolupem: $(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$ i $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$.
Equació: $(4x^2 - 12x + 9) - (x^2 - 1) = 8 \implies 3x^2 - 12x + 10 = 8 \implies 3x^2 - 12x + 2 = 0$.
Apliquem la fórmula: $x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{120}}{6} = \frac{12 \pm 2\sqrt{30}}{6} = \mathbf{\frac{6 \pm \sqrt{30}}{3}}$. (1,25 punts: 0,5 pt desenvolupament, 0,75 pt resolució)

Solució detallada i puntuació:

1. Fem el canvi de variable: $x^2 = t \implies t^2 - 29t + 100 = 0$. (0,5 punts)
2. Resolem l'equació de 2n grau en $t$:
$t = \frac{29 \pm \sqrt{(-29)^2 - 4(1)(100)}}{2} = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 400}}{2} = \frac{29 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{29 \pm 21}{2}$.
Obtenim: $t_1 = \frac{50}{2} = 25$ i $t_2 = \frac{8}{2} = 4$. (0,75 punts)
3. Desfem el canvi ($x = \pm\sqrt{t}$):
• Si $t = 25 \implies x = \pm\sqrt{25} = \mathbf{\pm 5}$
• Si $t = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} = \mathbf{\pm 2}$
Les 4 solucions són: $\mathbf{x = \{-5, -2, 2, 5\}}$. (0,75 punts)

Solució detallada i puntuació:

1. Aïllem el radical: $\sqrt{3x + 1} = x - 1$. (0,5 punts)
2. Elevem al quadrat a tots dos costats: $(\sqrt{3x + 1})^2 = (x - 1)^2 \implies 3x + 1 = x^2 - 2x + 1$. (0,5 punts)
3. Reduïm l'equació de segon grau: $x^2 - 5x = 0 \implies x(x - 5) = 0 \implies x = 0$ o $x = 5$. (0,5 punts)
4. Comprovació de solucions (OBLIGATORI):
• Si $x = 0 \implies \sqrt{3(0) + 1} - 0 = \sqrt{1} - 0 = 1 \neq -1$ (FALSA, es descarta).
• Si $x = 5 \implies \sqrt{3(5) + 1} - 5 = \sqrt{16} - 5 = 4 - 5 = -1$ (VÀLIDA).
L'única solució real és: $\mathbf{x = 5}$. (0,5 punts per la comprovació)

Solució detallada i puntuació:

1. Aïllem la incògnita $x$ a la 1a equació: $x = y + 3$. (0,5 punts)
2. Substituïm a la 2a equació: $(y + 3)^2 + y^2 = 29 \implies y^2 + 6y + 9 + y^2 = 29 \implies 2y^2 + 6y - 20 = 0$. (0,5 punts)
3. Simplifiquem dividint entre 2: $y^2 + 3y - 10 = 0$.
$y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-10)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} \implies y_1 = 2, \, y_2 = -5$. (0,5 punts)
4. Trobem els valors corresponents de $x$ ($x = y + 3$):
• Si $y = 2 \implies x = 2 + 3 = 5 \implies \mathbf{(5, 2)}$
• Si $y = -5 \implies x = -5 + 3 = -2 \implies \mathbf{(-2, -5)}$
Les dues solucions del sistema són: $\mathbf{(5, 2)}$ i $\mathbf{(-2, -5)}$. (0,5 punts)

Solució detallada i puntuació:

a) Amplada: $x$. Llargada: $x + 8$.
Àrea: $\text{Base} \cdot \text{Alçada} = x(x + 8) = 180 \implies \mathbf{x^2 + 8x - 180 = 0}$. (1 punt pel plantejament)

b) Resolem l'equació:
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-180)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 720}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{784}}{2} = \frac{-8 \pm 28}{2}$.
$x_1 = \frac{20}{2} = 10\text{ m}$ i $x_2 = \frac{-36}{2} = -18\text{ m}$ (es descarta per ser negativa).
Dimensions del jardí: Amplada $= \mathbf{10\text{ m}}$, Llargada $= 10 + 8 = \mathbf{18\text{ m}}$.
Perímetre: $P = 2(10) + 2(18) = 20 + 36 = \mathbf{56\text{ metres}}$. (1 punt: 0,5 pt resolució, 0,5 pt perímetre)