Simulacre d'Examen: Unitat 3

Solució detallada i puntuació:

a) Substituïm $x = -2$ als dos membres:
1r membre: $2(-2 + 5) - (-2)^2 = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$.
2n membre: $3(-2 + 2) = 3(0) = 0$.
Com que $2 \neq 0$, $x = -2$ NO és solució. (0,75 punts)

b) Desenvolupem: $(2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9$ i $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$.
Equació: $(4x^2 - 12x + 9) - (x^2 - 1) = 8 \implies 3x^2 - 12x + 10 = 8 \implies 3x^2 - 12x + 2 = 0$.
Té dues solucions reals diferents ($b^2 - 4ac = 144 - 24 = 120 > 0$). (1,25 punts)

Solució detallada i puntuació:

1. Fem el canvi de variable: $x^2 = t \implies t^2 - 29t + 100 = 0$. (0,5 punts)
2. Resolem l'equació de 2n grau en $t$:
$t = \frac{29 \pm \sqrt{(-29)^2 - 4(1)(100)}}{2} = \frac{29 \pm \sqrt{841 - 400}}{2} = \frac{29 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{29 \pm 21}{2}$.
Obtenim: $t_1 = 25$ i $t_2 = 4$. (0,75 punts)
3. Desfem el canvi ($x = \pm\sqrt{t}$):
Les 4 solucions són: $\mathbf{x = \{-5, -2, 2, 5\}}$. (0,75 punts)

Solució detallada i puntuació:

1. Aïllem el radical: $\sqrt{3x + 1} = x - 1$. (0,5 punts)
2. Elevem al quadrat a tots dos costats: $(\sqrt{3x + 1})^2 = (x - 1)^2 \implies 3x + 1 = x^2 - 2x + 1$. (0,5 punts)
3. Reduïm l'equació de segon grau: $x^2 - 5x = 0 \implies x(x - 5) = 0 \implies x = 0$ o $x = 5$. (0,5 punts)
4. Comprovació de solucions (OBLIGATORI):
• Si $x = 0 \implies \sqrt{3(0) + 1} - 0 = 1 \neq -1$ (FALSA, es descarta).
• Si $x = 5 \implies \sqrt{3(5) + 1} - 5 = 4 - 5 = -1$ (VÀLIDA).
L'única solució real és: $\mathbf{x = 5}$. (0,5 punts per la comprovació)

Solució detallada i puntuació:

1. Aïllem la incògnita $x$ a la 1a equació: $x = y + 3$. (0,5 punts)
2. Substituïm a la 2a equació: $(y + 3)^2 + y^2 = 29 \implies 2y^2 + 6y - 20 = 0$. (0,5 punts)
3. Resolem $y^2 + 3y - 10 = 0 \implies y_1 = 2, \, y_2 = -5$. (0,5 punts)
4. Trobem els valors de $x$: solucions $\mathbf{(5, 2)}$ i $\mathbf{(-2, -5)}$. (0,5 punts)

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Amplada: $x$. Llargada: $x + 8$.
Àrea: $\text{Base} \cdot \text{Alçada} = x(x + 8) = 180 \implies \mathbf{x^2 + 8x - 180 = 0}$. (1 punt)

b) Resolent l'equació obtenim $x = 10\text{ m}$ (amplada) i $18\text{ m}$ (llargada).
Perímetre: $P = 2(10) + 2(18) = \mathbf{56\text{ metres}}$. (1 punt)