←
4t d'ESO Tema 3: Equacions i Sistemes
Temari 4t d'ESO
Unitat 03 • Matemàtiques 4t d'ESO

Equacions, Igualtats Notables i Sistemes

Guia completa des del repàs de primer grau fins a equacions de segon grau, biquadrades, irracionals, sistemes lineals i no lineals, amb bases d'orientació i pràctica progressiva autònoma.

0

Repàs: Equacions de Primer Grau i Concepte de Solució

Igualtats algebraiques i comprovacions

Una equació és una igualtat entre dues expressions algebraiques que només es compleix per a determinats valors de la incògnita (les solucions).

Esquema General: Elements d'una Equació Esquema d'equacions de primer grau i components
Concepte clau: Com comprovar si un valor és solució sense resoldre l'equació

• Per saber si un nombre és solució d'una equació, substitueix el valor de la $x$ a la igualtat i comprova si el valor numèric del primer membre és exactament igual al segon membre.

Pràctica 0: Equacions de 1r Grau i Comprovacions

0 / 8 resolts

Calcula la solució $x$ (o escriu 1 si és cert i 0 si és fals en les comprovacions):

1) $2x + 4 = 10$
2) $2(2x + 5) = 18$
3) $\frac{3x+4}{5} = \frac{x-2}{3}$ ($x$ entera no, posa -5.5 o similar si cal o revisa)
4) Comprova $x=2$ en $3(2x-6)+5x = -x+4$ (1=Cert, 0=Fals)
5) $5x - 3 = 2x + 9$
6) $4(x - 1) - 2(x + 3) = 0$
7) $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 4$
8) Comprova $x=-1$ en $4x+7=3x+6$ (1=Cert, 0=Fals)
1

Les Tres Igualtats Notables

Desenvolupaments algebraics fonamentals

Les igualtats notables són identitats algebraiques essencials per desenvolupar expressions i simplificar càlculs, especialment necessàries per manipular equacions de segon grau fins a portar-les a la seva forma reduïda ($ax^2 + bx + c = 0$).

Quadrat d'una Suma $$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$

Exemple: $(x + 3)^2 = x^2 + 9 + 6x$

Quadrat d'una Diferència $$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$$

Exemple: $(x - 4)^2 = x^2 + 16 - 8x$

Suma per Diferència $$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Exemple: $(2x - 5)(2x + 5) = 4x^2 - 25$

Pràctica 1: Igualtats Notables

0 / 8 resolts

Escriu el coeficient del terme en $x$ (o el terme independent en suma per diferència):

1) $(x + 2)^2 \rightarrow$ coeficient de $x$
2) $(x - 5)^2 \rightarrow$ coeficient de $x$
3) $(x + 3)(x - 3) \rightarrow$ terme independent
4) $(2x + 1)^2 \rightarrow$ coeficient de $x$
5) $(3x - 2)^2 \rightarrow$ coeficient de $x$
6) $(4x - 1)(4x + 1) \rightarrow$ coeficient de $x^2$
7) $(x + 6)^2 \rightarrow$ terme independent
8) $(5x + 3)(5x - 3) \rightarrow$ terme independent
2

Equacions de Segon Grau, Manipulació i Discriminant

Forma reduïda i fórmula general

Abans d'aplicar qualsevol mètode o fórmula, cal manipular algebraicament l'expressió fins a deixar-la en la forma reduïda: $ax^2 + bx + c = 0$. Llavors s'aplica la fórmula general:

Esquema General: Resolució i Discriminant Esquema d'equacions de segon grau i fórmula
El Discriminant ($\Delta = b^2 - 4ac$):

• Si $\Delta > 0$: Dues solucions reals i diferents.

• Si $\Delta = 0$: Una única solució real (doble).

• Si $\Delta < 0$: Cap solució real.

Pràctica 2: Equacions de Segon Grau

0 / 8 resolts

Escriu la solució més gran (o una d'elles si s'indica) de cada equació de segon grau:

1) $x^2 - 5x + 6 = 0$ (solució més gran)
2) $(2x - 1)^2 = 25$ (solució més gran)
3) $3(x-1)(x+1) = -4x + 1$ (solució entera)
4) $3x^2 - 12x = 0$ (solució no nul·la)
5) $9x^2 - 25 = 0$ (solució positiva)
6) $x^2 + x - 6 = 0$ (solució positiva)
7) $3x^2 + 8x + 4 = 0$ (solució major)
8) $2x^2 - 5x + 2 = 0$ (solució major)
3

Equacions Biquadrades

Mètode del canvi de variable $x^2 = t$

Tenen la forma $ax^4 + bx^2 + c = 0$. Es resolen mitjançant el canvi de variable $x^2 = t$, convertint-la en una equació de segon grau.

Pràctica 3: Equacions Biquadrades

0 / 8 resolts

Escriu la solució positiva més gran de cada equació biquadrada:

1) $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$
2) $x^4 - 34x^2 + 225 = 0$
3) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
4) $4x^4 - 17x^2 + 4 = 0$
5) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$
6) $x^4 - 29x^2 + 100 = 0$
7) $9x^4 - 10x^2 + 1 = 0$
8) $x^4 - 10x^2 + 25 = 0$ ($\sqrt{5} \approx 2.24$)
4

Equacions Irracionals (Base d'Orientació Pas a Pas)

Eliminació de radicals i comprovació obligatòria

Equacions amb la incògnita sota el radical. Seguint la base d'orientació oficial:

Esquema General: Passos per Resoldre Esquema d'equacions irracionals i comprovació
Passos clau:

• PAS 1: Deixem l'arrel sola a un costat de l'igual.

• PAS 2: Elevem al quadrat tots dos costats.

• PAS 3-4: Reduïm i resolem l'equació obtinguda.

• PAS 5 (OBLIGATORI): Comprovem les solucions a l'equació inicial per descartar solucions intruses.

Pràctica 4: Equacions Irracionals

0 / 8 resolts

Escriu la solució vàlida de cada equació irracional:

1) $\sqrt{2x - 3} + 1 = x$
2) $\sqrt{x + 6} - \sqrt{x - 2} = 2$
3) $\sqrt{5x + 4} - 1 = 2x$
4) $\sqrt{x-1} + x = 3$
5) $\sqrt{x + 4} + x = 2$
6) $x - \sqrt{25 - x^2} = 1$
7) $\sqrt{3x + 1} = x - 1$
8) $\sqrt{x+7} = \sqrt{3x+1}$
5

Sistemes d'Equacions (Lineals i No Lineals) i Problemes

Mètodes de resolució i aplicacions

Resolució de sistemes lineals per substitució, igualació, reducció i sistemes no lineals.

1. Substitució

Aïllar una incògnita i substituir-la.

$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - 3y = -8 \end{cases} \implies \mathbf{x=1, \, y=3}$
2. Reducció

Sumar o restar equacions.

$\begin{cases} 2x + y = -10 \\ x - y = -8 \end{cases} \implies \mathbf{x=-6, \, y=2}$
3. No Lineal

Substitució sobre equació de 2n grau.

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 290 \\ x + y = 24 \end{cases}$

Pràctica 5: Sistemes Lineals i No Lineals

0 / 8 resolts

Escriu el valor de la incògnita $x$ per a cada sistema:

1) $3x-2y=5$ | $x+4y=-1 \rightarrow x$
2) $5x+2y=1$ | $-3x+4y=-11 \rightarrow x$
3) $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=4$ | $x-y=2 \rightarrow x$
4) $4x-3y=1$ | $2x+5y=19 \rightarrow x$
5) $7x-3y=5$ | $5x+2y=16 \rightarrow x$
6) $x+y=12$ | $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=5 \rightarrow x$
7) $xy=8$ | $x+y=6 \rightarrow$ una de les $x$
8) $x^2+y^2=290$ | $x+y=24 \rightarrow$ una de les $x$
Consolidació de la unitat

Avaluació Final del Tema 3

Comprova el teu domini fent el test ràpid de 4 preguntes i resolent els exàmens de mostra.

Qüestionari ràpid de repàs (4 preguntes)

1. Quantes solucions reals té una equació si $\Delta = 0$?

2. Quin pas és OBLIGATORI en equacions irracionals?

3. Quin mètode aïlla la mateixa lletra a les dues equacions?

4. Què significa que un sistema sigui incompatible?

Dossiers d'Examen Simulats (Puntuació sobre 10)

Simulacre Model A

Control estàndard amb criteris de correcció

→
Simulacre Model B

Model alternatiu de repàs previ al control

→