Simulacre d'Examen: Unitat 4

Solució detallada i puntuació:

a) Variable independent: el temps ($t$) (en hores), situat a l'eix $OX$, perquè avança de manera autònoma. Variable dependent: la distància ($d$) (en quilòmetres), situada a l'eix $OY$, ja que depèn del temps caminat. (1 punt)

b) Un tram horitzontal indica que la distància al refugi es manté constant ($8\text{ km}$) mentre el temps continua avançant. Per tant, els excursionistes s'han aturat a fer una parada o descans d'1 hora. (1 punt)

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $p = \frac{10 - 1}{4 - 1} = \frac{9}{3} = \mathbf{3}$. Com que $p > 0$, la recta és estrictament creixent.

b) Substituïm el pendent $p = 3$ i el punt $A(1, 1)$ a $y = px + o$:
$1 = 3(1) + o \implies 1 = 3 + o \implies o = 1 - 3 = \mathbf{-2}$.
L'equació explícita és: $\mathbf{y = 3x - 2}$. Talla l'eix $OY$ en el punt $\mathbf{(0, -2)}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) • Tall eix $OY$ ($x = 0$): $y = -2(0) + 6 = 6 \implies \mathbf{(0, 6)}$.
• Tall eix $OX$ ($y = 0$): $0 = -2x + 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \implies \mathbf{(3, 0)}$.

b) Per ser paral·lela ha de tenir el mateix pendent: $p = -2$.
Substituïm el punt $P(2, 5)$ a l'equació $y = px + o$:
$5 = -2(2) + o \implies 5 = -4 + o \implies o = 9$.
L'equació de la recta paral·lela és: $\mathbf{y = -2x + 9}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Com que $a = 1 > 0$, les branques van cap amunt (el vèrtex és un Mínim).
$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2(1)} = \frac{6}{2} = \mathbf{3}$.
$y_v = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = \mathbf{-4}$. Vèrtex: $\mathbf{V(3, -4)}$.
Eix de simetria: la recta vertical $\mathbf{x = 3}$.

b) Tall $OX$ ($f(x) = 0$): $x^2 - 6x + 5 = 0 \implies x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \implies x_1 = 5, \, x_2 = 1$. Punts de tall: $\mathbf{(1, 0)}$ i $\mathbf{(5, 0)}$.
Monotonia: Decreixent a $(-\infty, 3)$ i Creixent a $(3, +\infty)$.

Solució detallada i puntuació:

a) Funcions de cost:
• Empresa Ràpid: $\mathbf{y_1 = 0,20x + 40}$ (funció afí).
• Empresa Econòmic: $\mathbf{y_2 = 0,45x}$ (funció lineal).

b) Igualem totes dues funcions per trobar el punt d'equilibri:
$0,20x + 40 = 0,45x \implies 40 = 0,45x - 0,20x \implies 0,25x = 40 \implies x = \frac{40}{0,25} = \mathbf{160\text{ km}}$.
Per a menys de $160\text{ km}$ és millor Econòmic; a partir de més de $160\text{ km}$ surt més econòmica l'empresa Ràpid.