←
4t d'ESO Tema 4: Funcions i Paràboles
Temari 4t d'ESO
Unitat 04 • Matemàtiques 4t d'ESO

Funcions Lineals, Afins i Paràboles

Teoria completa i detallada explicada de forma visual, amb guies de resolució pas a pas i pràctica integrada immediatament sota cada bloc teòric.

1

Concepte de Funció: La Màquina Matemàtica

Variables, taules i lectures gràfiques

Imagina que una funció és una màquina màgica. Tu hi introdueixes un nombre lliure, anomenat variable independent ($x$), la màquina aplica una norma matemàtica fixa i en treu un resultat automàtic de sortida, la variable dependent ($y$ o $f(x)$).

Esquema General: Concepte de Funció Esquema visual del concepte de funció
Cas Pràctic Visual: Com interpretar gràfiques d'excursions o moviments

• Eix X ($x$): Representa sempre el temps transcorregut (en hores o minuts).

• Eix Y ($y$): Representa la distància acumulada respecte al punt d'origen.

• Truc per a exàmens: Si veus un tram de línia totalment horitzontal, significa que la distància no varia mentre passa el temps; per tant, indica una parada o descans.

Variable Independent ($x$)

Situada a l'eix horitzontal ($OX$). Pot prendre qualsevol valor del domini de forma lliure.

Variable Dependent ($y$ o $f(x)$)

Situada a l'eix vertical ($OY$). El seu valor depèn estrictament del que valgui $x$.

Pràctica 1: Concepte i Lectures Gràfiques

0 / 10 resolts

Escriu el nombre de la resposta principal o l'identificador numèric corresponent:

1) Temps transcorregut en una gràfica de moviment (1=Indep, 2=Dep)
2) Línia recta inclinada en espai-temps: velocitat constant (1=Cert, 0=Fals)
3) Tram horitzontal en gràfica de viatge: quantes hores de parada si va de $h=2$ a $h=4$?
4) Punt més alt de concentració d'un fàrmac (1=Màxim, 2=Mínim)
5) Edat (anys) vs Alçada: quin eix sol portar l'edat? (1=X, 2=Y)
6) Domini de 0 a 24 hores: quants dies complets abasta?
7) Tall amb l'eix $OY$: quin valor pren la $x$?
8) Si $y = f(x)$ mai talla $OX$, pot valer $y = 0$? (1=Sí, 0=No)
9) Quantes variables mínimes defineixen una funció clàssica en un pla cartesià?
10) Si una gràfica baixa d'esquerra a dreta, com s'anomena la propietat? (1=Creixent, 2=Decreixent)
2

Funcions Polinòmiques de Grau 0 i Grau 1 (Lineals i Afins)

Pendents, ordenades a l'origen i aplicacions

Les funcions de primer grau es dibuixen sempre en forma de línia recta. La seva expressió general completa és de tipus $y = px + o$.

Esquema General: Funcions Lineals i Afins Esquema visual de funcions lineals i afins
Cas Pràctic Visual: Com trobar l'equació $y = px + o$ a partir de dos punts

1. Calcular el pendent ($p$): $p = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (Mesura la inclinació).

2. Calcular l'ordenada a l'origen ($o$): Substituïm el pendent i un dels punts $(x, y)$ a $y = px + o$ per aïllar $o$.

Exemple per $A(1, 2)$ i $B(4, 11)$: $p = \frac{11 - 2}{4 - 1} = 3 \implies 2 = 3(1) + o \implies o = -1 \implies \mathbf{y = 3x - 1}$.

1. Constant ($y = k$)

Recta horitzontal amb pendent nul ($p = 0$).

2. Lineal ($y = px$)

Passa sempre per l'origen $(0,0)$.

3. Afí ($y = px + o$)

Talla l'eix $Y$ a $(0, o)$. $p > 0$ creixent, $p < 0$ decreixent.

Pràctica 2: Rectes, Pendents i Equacions

0 / 10 resolts

Escriu el valor del pendent $p$ (o l'ordenada a l'origen segons s'indiqui) per a cada recta:

1) Passa per $(1, 2)$ i $(4, 11) \rightarrow$ pendent $p$
2) Tall $Y$ a $(0, 2)$ i $p = 3 \rightarrow$ ordenada $o$
3) Passa per l'origen i $(2, 4) \rightarrow$ pendent $p$
4) Recta horitzontal $y = -5 \rightarrow$ pendent $p$
5) Passa per $(-2, 8)$ i $(4, -10) \rightarrow$ pendent $p$
6) Tall $Y$ de $y = -4x + 12$ (ordenada $o$)
7) Passa per $(2, 5)$ i $(4, 9) \rightarrow$ pendent $p$
8) Paral·lela a $y = 2x + 1$ passant per $(0, 3) \rightarrow$ ordenada $o$
9) Si $y = -5x + 7$, el pendent $p$ és negatiu? (1=Sí, 0=No)
10) Quina és la coordenada $x$ del tall amb $OX$ de $y = 2x - 4$?

Pràctica 3: Problemes d'Aplicació de Rectes

0 / 10 resolts

Calcula el cost numèric o mesos de coincidència en problemes lineals:

1) Tarifa fixa $10\text{€}$ més $2\text{€/GB}$. Cost per $5\text{ GB}$?
2) Servei a $4\text{€}$ per hora. Quant per $6$ hores?
3) Cost Tarifa 1 ($y = 2x + 10$) per $6\text{ GB}$
4) Lloguer: $5\text{€} + 1,5\text{€/km}$. Cost per $10\text{ km}$?
5) Missatgeria: $4\text{€} + 0,5\text{€/g}$. Cost per $20\text{ g}$?
6) Gimnàs A ($30\text{€} + 20\text{€}$ mes) per $2$ mesos
7) Mesos de coincidència A ($y=20x+30$) i B ($y=25x$)
8) Alçada d'avió $y = -50x + 3000$ als $10$ minuts
9) Si un taxi cobra $3\text{€}$ baixada bandera $+ 1\text{€/km}$, cost per $5\text{ km}$?
10) Quina és l'ordenada a l'origen de qualsevol funció de cost directe sense quota fixa?
3

Funcions Quadràtiques: La Paràbola

Vèrtexs, eixos de simetria i optimització

Tenen per equació general $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$). La seva representació gràfica és una corba simètrica anomenada paràbola.

Esquema General: Vèrtex de la Paràbola Esquema visual de funcions quadràtiques i paràboles
Cas Pràctic Visual: Com calcular el vèrtex de $y = x^2 - 4x + 3$

1. Orientació: $a = 1 > 0$ (amunt, vèrtex = mínim).

2. Coordenada $x$ del vèrtex: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(1)} = 2$.

3. Coordenada $y$ del vèrtex: $y_v = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1$.

Vèrtex: $V(2, -1)$. Eix de simetria: $x = 2$.

Pràctica 4: Paràboles i Vèrtexs

0 / 10 resolts

Escriu la coordenada $x$ del vèrtex (o el valor demanat) per a cada paràbola:

1) $y = x^2 - 4x + 3 \rightarrow$ coordenada $x_v$ del vèrtex
2) $y = -2x^2 + 8 \rightarrow$ orientació (1=Amunt, 0=Avall)
3) $y = x^2 - 6x \rightarrow$ eix de simetria ($x = ?$)
4) $y = 3x^2 - 5x - 2 \rightarrow$ ordenada del tall $OY$
5) Perímetre $60\text{ cm} \rightarrow$ dimensió $x$ per màxima àrea
6) Àrea màxima del rectangle anterior ($15 \times 15$)
7) $y = x^2 - 4x \rightarrow$ coordenada $y_v$ del vèrtex
8) $y = -x^2 + 4x \rightarrow$ coordenada $x_v$ del vèrtex
9) Valor màxim de $y = -x^2 + 4x$ al vèrtex
10) Quants talls amb l'eix $OX$ té $y = x^2 + 1$? (Cap sol real = 0)
Consolidació de la unitat

Avaluació Final del Tema 4

Comprova el teu domini fent el test ràpid de 4 preguntes i resolent els exàmens de mostra.

Qüestionari ràpid de repàs (4 preguntes)

1. On talla la recta $y = 3x - 5$ l'eix $Y$?

2. Si $a < 0$, el vèrtex de la paràbola és un...

3. Quina és la coordenada $x$ del vèrtex de $y = ax^2 + bx + c$?

4. Si el pendent $p < 0$ en una funció afí, com és la recta?

Dossiers d'Examen Simulats (Puntuació sobre 10)

Simulacre Model A

Control estàndard amb criteris de correcció

→
Simulacre Model B

Model alternatiu de repàs previ al control

→