Simulacre d'Examen: Unitat 5

Solució detallada i puntuació:

a) $A = [-3, 4) \implies \mathbf{-3 \le x < 4}$. $B = (1, 6] \implies \mathbf{1 < x \le 6}$. (0,8 punts)

b) • Unió ($A \cup B$): Conjunt de valors des del mínim d'$A$ fins al màxim de $B$: $\mathbf{[-3, 6]}$. Porta cercle ple a $-3$ i a $6$.
• Intersecció ($A \cap B$): Valors comuns on es superposen ambdós intervals: $\mathbf{(1, 4)}$. Porta cercle buit a $1$ i a $4$.
(1,2 punts: 0,6 pt unió, 0,6 pt intersecció)

Solució detallada i puntuació:

1. Eliminem parèntesis: $6 - 3x - 4x - 4 \le 8 - x \implies -7x + 2 \le 8 - x$. (0,5 punts)
2. Agrupem termes amb $x$ a l'esquerra: $-7x + x \le 8 - 2 \implies -6x \le 6$. (0,5 punts)
3. Regla d'or del signe negatiu: Com que dividim entre $-6$ (nombre negatiu), el sentit de la desigualtat $\le$ s'inverteix a $\ge$:
$x \ge \frac{6}{-6} \implies \mathbf{x \ge -1}$. (0,5 punts)
4. En forma d'interval: $\mathbf{[-1, +\infty)}$. (0,5 punts)

Solució detallada i puntuació:

1. 1a Inequació: $\frac{2x - 1}{3} < 3 \implies 2x - 1 < 9 \implies 2x < 10 \implies x < 5 \implies (-\infty, 5)$. (0,75 punts)
2. 2a Inequació: $4x - x \ge 4 + 5 \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3 \implies [3, +\infty)$. (0,75 punts)
3. Intersecció comuna: Superposem $(-\infty, 5)$ i $[3, +\infty)$:
La solució és el tram comprès entre 3 (inclòs) i 5 (sense incloure): $\mathbf{[3, 5)}$ o bé $\mathbf{3 \le x < 5}$. (0,5 punts)

Solució detallada i puntuació:

a) Recta frontera: $3x - 2y = 6 \implies y = \frac{3}{2}x - 3$.
• Si $x = 0 \implies y = -3 \implies \mathbf{(0, -3)}$.
• Si $y = 0 \implies 3x = 6 \implies x = 2 \implies \mathbf{(2, 0)}$.
Com que el símbol és $\le$ (inclou la igualtat), la recta es dibuixa contínua.

b) Provem el punt $(0, 0)$ a la desigualtat original:
$3(0) - 2(0) \le 6 \implies 0 \le 6$ (És CERT).
Per tant, el punt $(0, 0)$ pertany a la solució: la regió factible és el semiplà superior que conté l'origen de coordenades.

Solució detallada i puntuació:

1. Resolem l'equació associada: $x^2 - 2x - 8 = 0$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-8)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} \implies x_1 = 4, \, x_2 = -2$. (0,75 punts)
2. Les arrels divideixen la recta en 3 intervals: $(-\infty, -2)$, $(-2, 4)$ i $(4, +\infty)$.
Com que $a = 1 > 0$ (paràbola amb branques cap amunt), l'expressió és positiva als extrems i negativa al centre:
• A $(-\infty, -2)$: Positiu ($+$)
• A $(-2, 4)$: Negatiu ($-$) (ex: per a $x=0$, $0-0-8 = -8 < 0$)
• A $(4, +\infty)$: Positiu ($+$) (0,75 punts)
3. Com que busquem $\ge 0$ (positiu o zero, incloent extrems):
Solució en intervals: $\mathbf{(-\infty, -2] \cup [4, +\infty)}$. (0,5 punts)