←
4t d'ESO Tema 5: Inequacions i Sistemes
Temari 4t d'ESO
Unitat 05 • Matemàtiques 4t d'ESO

Inequacions i Sistemes d'Inequacions

Teoria contundent i propera, casos pràctics visuals pas a pas i pràctica autònoma progressiva integrada immediatament sota cada bloc teòric.

1

Desigualtats, Intervals i Semirectes

Notació d'intervals i representació gràfica

Una desigualtat relaciona dues quantitats mitjançant els símbols $<, >, \le, \ge$. Un interval representa un conjunt infinit de nombres compresos entre dos límits.

Esquema General: Intervals i Semirectes Esquema visual d'intervals i semirectes
Cas Pràctic Visual: Com traduir de desigualtat a interval i recta real

• Obert $(a, b)$ o $a < x < b$: Porta cercles buits (∘) perquè els extrems no formen part de la solució.

• Tancat $[a, b]$ o $a \le x \le b$: Porta cercles plens (●) perquè els límits sí que estan inclosos.

• Infinit $(a, +\infty)$ o $x > a$: S'estén de manera indefinida cap a la dreta amb una fletxa.

Tipus Interval Desigualtat Representació Gràfica
Obert (a, b) a < x < b Cercles buits ∘
Tancat [a, b] a ≤ x ≤ b Cercles plens ●
Semiobert (a, b] a < x ≤ b Buit a l'esquerra, ple a la dreta
Infinit [a, +∞) x ≥ a Ple a l'extrem i fletxa a la dreta

Pràctica 1: Intervals i Semirectes

0 / 8 resolts

Escriu el nombre enter d'inici o final de la desigualtat segons s'indiqui:

1) $(1, 5) \rightarrow$ límit superior de la $x$ ($x < ?$)
2) $[-4, 7] \rightarrow$ límit inferior ($x \ge ?$)
3) $[3, 6) \rightarrow$ límit inferior ($x \ge ?$)
4) $(-5, -3) \rightarrow$ límit superior ($x < ?$)
5) $[3, +\infty) \rightarrow$ límit inferior ($x \ge ?$)
6) $(-\infty, 5] \rightarrow$ límit superior ($x \le ?$)
7) $(8, +\infty) \rightarrow$ límit inferior estrict ($x > ?$)
8) $(-\infty, -11) \rightarrow$ límit superior ($x < ?$)
2

Inequacions Lineals amb Una Incògnita (La Regla d'Or)

Aïllament de la incògnita i regla de signes

Es resolen exactament igual que les equacions de 1r grau aïllant la $x$, però tenint molt en compte la regla d'or dels signes negatius.

Esquema General: Inequacions de 1r Grau Esquema visual d'inequacions de primer grau
Cas Pràctic Visual: Regla d'or del signe negatiu

• Si en aïllar la $x$ ens queda un coeficient negatiu (ex: $-2x \ge -4$), en dividir o multiplicar tota la inequació per $-1$ el signe de la desigualtat s'inverteix obligatòriament ($2x \le 4 \implies x \le 2$).

Pràctica 2: Inequacions de 1r Grau

0 / 8 resolts

Escriu el valor del límit numèric de $x$ (per exemple, per a $x < 3$ escriu 3):

1) $2x + 1 < 7 \rightarrow x < ?$
2) $3x - 6 < 8 - 5x \rightarrow x < ?$ (1.75)
3) $x + 1 \ge 3 - 2x \rightarrow x \ge ?$ (0.67)
4) $4 - x \le 7 + 3x \rightarrow x \ge ?$ (-0.75)
5) $5 + x \ge 3x + 1 \rightarrow x \le ?$
6) $4 \ge 2(5 - x) + 3(2x + 3) \rightarrow x \le ?$ (-3.75)
7) $5x - 3(x + 2) \ge 7 - 3x \rightarrow x \ge ?$ (2.6)
8) $2(3x - 5) - 7 \ge 6x - 3(5 - 3x) \rightarrow x \le ?$ (-0.67)
3

Sistemes d'Inequacions amb Una Incògnita

Intersecció de solucions a la recta real

Agrupa dues o més inequacions. La solució final és la intersecció (la zona comuna on es superposen) de les solucions individuals de cada inequació a la recta real.

Esquema General: Sistemes d'Inequacions Esquema visual de sistemes d'inequacions
Cas Pràctic Visual: Com resoldre el sistema $\begin{cases} 2x + 1 < 7 \\ 3x - 6 \ge 0 \end{cases}$

1. Resolem la 1a inequació: $2x < 6 \implies x < 3 \rightarrow (-\infty, 3)$.

2. Resolem la 2a inequació: $3x \ge 6 \implies x \ge 2 \rightarrow [2, +\infty)$.

3. Busquem la intersecció: On es creuen $(-\infty, 3)$ i $[2, +\infty)$? Exactament entre el $2$ i el $3$. Solució: $\mathbf{[2, 3)}$.

Pràctica 3: Sistemes d'Inequacions amb Una Incògnita

0 / 8 resolts

Escriu el límit superior (dreta) de la solució comuna de cada sistema:

1) $\begin{cases} x + 3 > 5 \\ 2x \le 10 \end{cases} \rightarrow$ límit superior
2) $\begin{cases} 3x - 1 \ge 8 \\ x + 4 < 9 \end{cases} \rightarrow$ límit superior
3) $\begin{cases} 4x - 2 < 10 \\ 5x + 1 \ge -4 \end{cases} \rightarrow$ límit superior
4) $\begin{cases} 2(x - 1) \ge 4 \\ 3x < 15 \end{cases} \rightarrow$ límit superior
5) $\begin{cases} 3x - 3 \le 6 \\ x + 2 > 1 \end{cases} \rightarrow$ límit superior
6) $\begin{cases} 5x > 10 \\ 2x + 1 \le 9 \end{cases} \rightarrow$ límit superior
7) $\begin{cases} x - 4 < 1 \\ 2x \ge -2 \end{cases} \rightarrow$ límit superior
8) $\begin{cases} 6x - 12 \ge 0 \\ x - 3 < 4 \end{cases} \rightarrow$ límit superior
4

Inequacions Lineals amb Dues Incògnites

Regions factibles i semiplans al pla cartesià

La solució ja no és un segment, sinó tot un semiplà (una regió factible ombrejada al pla cartesià).

Esquema General: Inequacions amb Dues Incògnites Esquema visual d'inequacions amb dues incògnites
Cas Pràctic Visual: Com resoldre gràficament $2x - y < 3$

1. Aïllem la $y$: $-y < -2x + 3 \implies y > 2x - 3$ (en dividir per $-1$ gira el signe).

2. Dibuixem la recta frontera: $y = 2x - 3$ (en ser estrictament major, la recta es dibuixa discontínua).

3. Pintem el semiplà: Com que tenim $y > 2x - 3$, pintem tota la zona de sobre de la recta.

Pràctica 4: Inequacions amb Dues Incògnites

0 / 8 resolts

Escriu el pendent de la recta frontera aïllant la $y$ (per exemple, per a $y > 2x - 3$ escriu 2):

1) $2x - y < 3 \rightarrow$ pendent de la recta frontera
2) $3x + 5y < 2 \rightarrow$ ordenada de la recta frontera ($2/5 = 0.4$)
3) $-2x + y \le 5 \rightarrow$ pendent de la recta frontera
4) $3x - 2y \ge -1 \rightarrow$ pendent de la recta frontera (1.5)
5) $x - 2y > 0 \rightarrow$ pendent de la recta frontera (0.5)
6) $x + y \ge 4 \rightarrow$ ordenada a l'origen de la recta frontera
7) $y \le -x + 3 \rightarrow$ pendent de la recta frontera
8) $4x - 3y < 12 \rightarrow$ ordenada a l'origen de la recta frontera (-4)
5

Inequacions de Segon Grau amb Una Incògnita

Estudi de signes mitjançant les arrels de la paràbola

Tenen la forma $ax^2 + bx + c > 0$ (o amb $<, \le, \ge$). Es resolen analitzant els trams positius i negatius de la paràbola.

Esquema General: Inequacions de 2n Grau Esquema visual d'inequacions de segon grau
Cas Pràctic Visual: Resolució de $x^2 - x - 6 > 0$

1. Resolem l'equació associada $x^2 - x - 6 = 0 \implies x_1 = 3, x_2 = -2$.

2. Com que $a = 1 > 0$ (paràbola amunt), entre les arrels (-2 i 3) la $y$ és negativa, i a fora d'elles és positiva.

3. Com que busquem quan és major que zero ($>0$), la solució és l'exterior: $\mathbf{(-\infty, -2) \cup (3, +\infty)}$.

Pràctica 5: Inequacions de 2n Grau

0 / 8 resolts

Escriu una de les arrels o límits d'interès per a cada inequació de segon grau:

1) $x^2 - x - 6 > 0 \rightarrow$ arrel positiva
2) $-x^2 + x \ge 0 \rightarrow$ límit superior de l'interval
3) $2x^2 + x - 3 > 0 \rightarrow$ arrel positiva ($1$)
4) $-3x^2 + 7x - 2 \le 0 \rightarrow$ arrel major ($2$)
5) $x^2 + 2x - 15 < 0 \rightarrow$ arrel positiva ($3$)
6) $x^2 - 16 \le 0 \rightarrow$ límit superior ($4$)
7) $x^2 - 4x > 0 \rightarrow$ arrel positiva ($4$)
8) $2x^2 - 8 \ge 0 \rightarrow$ arrel positiva ($2$)
Consolidació de la unitat

Avaluació Final del Tema 5

Comprova el teu domini fent el test ràpid de 4 preguntes i resolent els exàmens de mostra.

Qüestionari ràpid de repàs (4 preguntes)

1. Què li passa a la desigualtat si divideixes per un nombre negatiu?

2. Quin símbol s'utilitza per a un interval obert $(a, b)$?

3. Com es defineix la solució d'un sistema d'inequacions?

4. Què representa la solució d'una inequació amb dues incògnites?

Dossiers d'Examen Simulats (Puntuació sobre 10)

Simulacre Model A

Control estàndard amb criteris de correcció

→
Simulacre Model B

Model alternatiu de repàs previ al control

→