Simulacre d'Examen: Unitat 5

Solució detallada i puntuació:

1. $\text{mcm}(2, 3, 6) = 6$. Multipliquem tots els termes per 6:
$3(x - 1) - 2(2x - 3) \ge x + 6$. (0,5 punts)
2. Desenvolupem parèntesis (atenció: $-2 \cdot (-3) = +6$):
$3x - 3 - 4x + 6 \ge x + 6 \implies -x + 3 \ge x + 6$. (0,5 punts)
3. Aïllem la $x$: $-x - x \ge 6 - 3 \implies -2x \ge 3$.
Dividim entre $-2$ invertint el sentit: $\mathbf{x \le -\frac{3}{2}}$. (0,5 punts)
Solució en interval: $\mathbf{\left(-\infty, -\frac{3}{2}\right]}$. (0,5 punts)

Solució detallada i puntuació:

1. 1a inequació: $2x + 6 < x + 4 \implies 2x - x < 4 - 6 \implies x < -2 \implies (-\infty, -2)$. (0,75 punts)
2. 2a inequació: $3x - 1 \ge 2x + 2 \implies 3x - 2x \ge 2 + 1 \implies x \ge 3 \implies [3, +\infty)$. (0,75 punts)
3. Intersecció: Representem a la recta real $(-\infty, -2)$ i $[3, +\infty)$. No hi ha cap punt en comú: $(-\infty, -2) \cap [3, +\infty) = \emptyset$.
El sistema és incompatible (sense solució). (0,5 punts)

Solució detallada i puntuació:

a) Recta $x + 2y = 4 \implies y = -\frac{1}{2}x + 2$.
• Si $x = 0 \implies y = 2 \implies \mathbf{(0, 2)}$.
• Si $y = 0 \implies x = 4 \implies \mathbf{(4, 0)}$.
Es dibuixa discontínua perquè la desigualtat és estricta ($>$), i els punts de la recta frontera no formen part de la solució.

b) • Punt $P(0, 0)$: $0 + 2(0) > 4 \implies 0 > 4$ (FALS). $P$ NO pertany a la solució.
• Punt $Q(3, 2)$: $3 + 2(2) > 4 \implies 3 + 4 = 7 > 4$ (CERT). $Q$ SÍ pertany a la regió solució.

Solució detallada i puntuació:

1. Multipliquem tota la inequació per $-1$ invertint el sentit: $x^2 - 5x + 4 \le 0$. (0,5 punts)
2. Trobem les arrels de l'equació: $x^2 - 5x + 4 = 0 \implies x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \implies x_1 = 4, \, x_2 = 1$. (0,5 punts)
3. Com que tenim $x^2 - 5x + 4 \le 0$ (amb paràbola cap amunt), l'expressió és negativa o zero a l'interval interior entre les arrels:
Solució en interval: $\mathbf{[1, 4]}$. (1 punt)

Solució detallada i puntuació:

a) Costos totals: $C(x) = 1.200 + 4x$. Ingressos totals: $I(x) = 10x$.
Condició de benefici: $\text{Ingressos} > \text{Costos} \implies \mathbf{10x > 1.200 + 4x}$. (1 punt pel plantejament)

b) Resolem la inequació:
$10x - 4x > 1.200 \implies 6x > 1.200 \implies x > \frac{1.200}{6} \implies \mathbf{x > 200}$.
Per no tenir pèrdues (punt d'equilibri) cal vendre exactament $200$ llibres. Per tenir beneficis reals estrictes, el nombre mínim de llibres és de $201\text{ llibres}$. (1 punt)