Simulacre d'Examen: Unitat 6

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $\text{mcd}(6, 18, 12) = 6$. La potència menor de $x$ és $x^2$.
Factor comú: $6x^2$. Dividim cada terme: $\frac{6x^5}{6x^2} = x^3$, $\frac{-18x^3}{6x^2} = -3x$, $\frac{12x^2}{6x^2} = 2$.
Resultat: $\mathbf{6x^2(x^3 - 3x + 2)}$.

b) Substituïm $x = -2$:
$Q(-2) = 2(-2)^3 - 4(-2)^2 + 5(-2) - 7 = 2(-8) - 4(4) - 10 - 7 = -16 - 16 - 10 - 7 = \mathbf{-49}$.

Solució detallada i puntuació:

1. Coeficients complets (grau 4 a terme independent): $[2, -5, 0, 3, -8]$. Valor per a Ruffini: $a = 2$. (0,5 punts)
2. Operacions de Ruffini:
• Baixem el $2$.
• $2 \cdot 2 = 4 \implies -5 + 4 = -1$.
• $-1 \cdot 2 = -2 \implies 0 + (-2) = -2$.
• $-2 \cdot 2 = -4 \implies 3 + (-4) = -1$.
• $-1 \cdot 2 = -2 \implies -8 + (-2) = -10$. (1 punt)
3. Resultats:
• Quocient: $\mathbf{q(x) = 2x^3 - x^2 - 2x - 1}$
• Residu: $\mathbf{r = -10}$ (0,5 punts)

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Pel Teorema del Residu, $r = P(-2)$:
$r = (-2)^4 - 3(-2)^2 + 5(-2) - 2 = 16 - 3(4) - 10 - 2 = 16 - 12 - 10 - 2 = \mathbf{-8}$.

b) Per ser divisible, la divisió ha de ser exacta $\implies r = Q(3) = 0$:
$Q(3) = (3)^3 - 2(3)^2 + k(3) - 12 = 0 \implies 27 - 18 + 3k - 12 = 0 \implies 3k - 3 = 0 \implies 3k = 3 \implies \mathbf{k = 1}$.

Solució detallada i puntuació:

a) Divisors de 6: $\mathbf{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6}$. (0,5 punts)

b) • Provem $x = -1$ per Ruffini: $[1, -4, 1, 6] \xrightarrow{-1} [1, -5, 6, 0] \implies x_1 = -1$ és arrel.
• El quocient és $x^2 - 5x + 6 = 0 \implies x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \implies x_2 = 2, \, x_3 = 3$.
Arrels: $\mathbf{-1, 2\text{ i } 3}$. (0,75 punts)
Factorització completa: $\mathbf{P(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 3)}$. (0,75 punts)

Solució detallada i puntuació:

a) Numerador (quadrat d'una resta): $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
Denominador (suma per diferència): $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
Simplificació: $\frac{(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} = \mathbf{\frac{x - 2}{x + 2}}$.

b) Domini: El denominador s'anul·la si $x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3$. Per tant: $\text{Dom} = \mathbf{\mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}}$.
Suma ($\text{mcm} = (x-3)(x+3) = x^2 - 9$):
$\frac{2(x + 3) + x(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{2x + 6 + x^2 - 3x}{x^2 - 9} = \mathbf{\frac{x^2 - x + 6}{x^2 - 9}}$.