Factorització, Regla de Ruffini, Teorema del Residu i Fraccions Algebraiques
Temps recomanat: 45 minuts
Normativa: Calculadora no permesa. Indica tots els passos de la taula de Ruffini i la descomposició en factors primers.
Criteri d'avaluació: 5 preguntes (2 apartats cadascuna = 10 exercicis interactius).
Resol els dos apartats següents:
a) Extreu el màxim factor comú del polinomi $P(x) = 6x^5 - 18x^3 + 12x^2$:
b) Calcula el valor numèric de $Q(x) = 2x^3 - 4x^2 + 5x - 7$ per a $x = -2$:
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) Resultat: $\mathbf{6x^2(x^3 - 3x + 2)}$. (1 punt)
b) $Q(-2) = \mathbf{-49}$. (1 punt)
Aplica la Regla de Ruffini per a $(2x^4 - 5x^3 + 3x - 8) : (x - 2)$:
a) Quin és el polinomi quocient $q(x)$?
b) Quin és el residu $r$ de la divisió?
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) Quocient: $\mathbf{q(x) = 2x^3 - x^2 - 2x - 1}$. (1 punt)
b) Residu: $\mathbf{r = -10}$. (1 punt)
Aplica el Teorema del Residu:
a) Residu de dividir $P(x) = x^4 - 3x^2 + 5x - 2$ entre $(x + 2)$:
b) Valor del paràmetre $k$ perquè $Q(x) = x^3 - 2x^2 + kx - 12$ sigui divisible per $(x - 3)$:
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) Residu: $\mathbf{-8}$. (1 punt)
b) $k = \mathbf{1}$. (1 punt)
Considerem $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$:
a) Escriu les tres arrels reals de $P(x)$ ordenades de menor a major:
b) Quina és la factorització completa del polinomi?
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) Arrels: $\mathbf{-1, 2, 3}$. (1 punt)
b) Factorització: $\mathbf{(x + 1)(x - 2)(x - 3)}$. (1 punt)
Resol les qüestions següents sobre fraccions algebraiques:
a) Simplifica $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}$:
b) Quins valors queden exclusos del domini de $\frac{3x + 1}{x^2 - 9}$?
Solució detallada i rúbrica:
a) Simplificació: $\mathbf{\frac{x - 2}{x + 2}}$. (1 punt)
b) Valors exclusos del domini: $\mathbf{-3, 3}$. (1 punt)