←
4t d'ESO Tema 6: Polinomis i Fraccions
Temari 4t d'ESO
Unitat 06 • Matemàtiques 4t d'ESO

Polinomis i Fraccions Algebraiques

Apunts completament millorats amb explicacions pas a pas més entenedores, exemples pràctics clarificadors i exercicis guiats accessibles per a tothom.

1

Extracció de Factor Comú i Valor Numèric

Descomposició bàsica i avaluació de polinomis

L'extracció de factor comú consisteix a identificar quin element (número i/o lletra) es repeteix en tots els sumands d'un polinomi per treure'l multiplicant fora d'un parèntesi. És el procés invers a aplicar la propietat distributiva.

Guia Pas a Pas: Com treure factor comú de $Q(x) = 5x^3 + 10x^2$

1. Meters els coeficients: Busquem el màxim comú divisor entre $5$ i $10$, que és $5$.

2. Meters la part literal: Miro quina lletra ($x$) es repeteix a tots els termes i trio la de menor exponent, que és $x^2$.

3. Dividir cada terme: El factor comú és $5x^2$. Dividim cada tros: $\frac{5x^3}{5x^2} = x$ i $\frac{10x^2}{5x^2} = 2$.

Resultat final factoritzat: $\mathbf{5x^2(x + 2)}$.

Per la seva banda, el valor numèric d'un polinomi $P(x)$ en un punt $x = a$ s'obté simplement substituint la lletra $x$ pel nombre $a$ i calculant el resultat aritmètic pas a pas.

Pràctica 1: Factor Comú i Valor Numèric

0 / 8 resolts

Escriu el coeficient principal del factor comú o el valor numèric resultant:

1) $5x^2 + 10x \rightarrow$ coeficient factor comú
2) $3x^3 - 9x^2 \rightarrow$ coeficient factor comú
3) $2x^4 + 4x^3 - 6x^2 \rightarrow$ coeficient factor comú
4) $x^5 - x^3 \rightarrow$ exponent de la $x$ fora ($x^?$
5) $P(2)$ si $P(x) = x^2 - 3x + 1$
6) $P(-1)$ si $P(x) = 2x^3 - 5x + 4$
7) $P(0)$ si $P(x) = 4x^4 - 2x^2 - 7$
8) $P(3)$ si $P(x) = x^3 - 27$
2

Divisió de Polinomis i Teorema del Residu

Regla de Ruffini i avaluació de residus

En qualsevol divisió de polinomis es compleix la relació fonamental: $\text{Dividend } D(x) = \text{Divisor } d(x) \cdot \text{Quocient } q(x) + \text{Residu } r(x)$. Quan dividim entre un binomi senzill de tipus $(x - a)$, podem utilitzar l'agil i ràpida Regla de Ruffini.

Esquema Visual - Divisió i Teorema del Residu Esquema visual de la Divisió de Polinomis i Teorema del Residu
Guia Pas a Pas: Què ens diu el Teorema del Residu?

• El Teorema del Residu demostra que el residu de dividir $P(x)$ entre $(x - a)$ equival exactament a calcular el valor numèric $P(a)$.

• Conseqüència clau: Si $P(a) = 0$, la divisió és exacta ($r = 0$) i $a$ és una arrel del polinomi.

Pràctica 2: Ruffini i Teorema del Residu

0 / 8 resolts

Escriu el valor del residu resultant de cada operació:

1) $(3x^5 - 2x^3 + 4) : (x + 1) \rightarrow$ residu
2) $(x^3 - 4x^2 + x - 2) : (x - 2) \rightarrow$ residu
3) Residu de $(x^3 - 5x + 6) : (x - 1)$
4) Residu de $(2x^4 - 3x^2 + 5) : (x + 2)$
5) Valor de $k$ si $(x^3 + kx - 5) : (x + 1)$ dona residu $0$
6) Residu de $(2x^3 - 5x^2 + x + 2) : (x - 2)$
7) Residu de $(x^4 - 1) : (x - 1)$
8) Residu de $(x^5 - 32) : (x - 2)$
3

Arrels i Factorització de Polinomis

Descomposició en factors lineals i Ruffini successiu

Un nombre enter $a$ és una arrel d'un polinomi $P(x)$ si $P(a) = 0$. Factoritzar un polinomi significa descompondre'l en una multiplicació de factors de grau 1 del tipus $(x - a)$.

Esquema Visual - Arrels i Factorització Esquema visual de les Arrels i Factorització de Polinomis
Guia Pas a Pas: Com factoritzar $P(x) = x^3 + x^2 - 6x$

1. Factor comú: Traiem $x$ fora $\implies x(x^2 + x - 6)$.

2. Arrels del 2n grau: Resolem $x^2 + x - 6 = 0 \implies x_1 = 2, x_2 = -3$.

Factorització completa: $\mathbf{x(x - 2)(x + 3)}$.

Pràctica 3: Arrels i Factorització

0 / 8 resolts

Escriu el nombre total de factors lineals o arrels enteres distintes de cada polinomi:

1) $x^3 + x^2 - 6x \rightarrow$ quantes arrels enteres té?
2) $x^3 - 2x^2 - x + 2 \rightarrow$ quants factors lineals?
3) $x^3 - 5x^2 + 6x \rightarrow$ arrel menor
4) $2x^3 - 8x \rightarrow$ quantes arrels enteres?
5) $x^4 - 16 \rightarrow$ quantes arrels reals enteres?
6) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 \rightarrow$ arrel positiva major
7) $x^3 + 4x^2 + x - 6 \rightarrow$ arrel positiva
8) $3x^3 - 12x^2 + 12x \rightarrow$ arrel doble
4

Fraccions Algebraiques i Funcions Racionals

Dominis, simplificació i operacions amb polinomis

Una fracció algebraica és una expressió en forma de quocient de polinomis $\frac{P(x)}{Q(x)}$. Operar amb elles segueix les mateixes regles que les fraccions numèriques, exigint una factorització prèvia.

Pràctica 4: Fraccions Algebraiques

0 / 8 resolts

Escriu el coeficient o valor constant resultant de la simplificació:

1) $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = x - ?$
2) $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 6x + 9} \rightarrow$ valor al substituir $x=0$
3) $\frac{2x}{x+1} + \frac{3}{x+1} \rightarrow$ coeficient de $x$ al numerador
4) Terme independent del numerador de $\frac{x}{x-2} - \frac{1}{x}$
5) $\frac{x^2}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x} \rightarrow$ exponent final de $x$
6) Quants valors s'exclouen al domini de $\frac{5}{x^2 - 9}$?
7) $\frac{x^3 - x}{x^2 + x} = x - ?$
8) $\frac{x+2}{x-3} \cdot \frac{x-3}{x+2} \rightarrow$ resultat numèric
Consolidació de la unitat

Avaluació Final del Tema 6

Comprova el teu domini fent el test ràpid de 4 preguntes i resolent els exàmens de mostra.

Qüestionari ràpid de repàs (4 preguntes)

1. Segons el Teorema del Residu, $P(a)$ és igual a...

2. Quins valors s'exclouen del domini d'una fracció $\frac{P(x)}{Q(x)}$?

3. Si $P(a) = 0$, què podem afirmar de $a$?

4. Què s'aplica per dividir entre $(x - a)$ ràpidament?

Dossiers d'Examen Simulats (Puntuació sobre 10)

Simulacre Model A

Control estàndard amb criteris de correcció

→
Simulacre Model B

Model alternatiu de repàs previ al control

→