Factor comú, arrels múltiples, Teorema del Factor i operacions fraccionàries
Temps límit: 45 minuts
Instruccions: Sense calculadora. Recorda que per factoritzar completament cal comprovar si queden arrels múltiples.
Criteri d'avaluació: 5 preguntes (2 apartats cadascuna = 10 exercicis interactius).
Descompon en factors traient el màxim factor comú possible:
a) Factoritza $4x^4 - 16x^2$:
b) Factoritza $3x^3 - 12x^2 + 12x$:
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) Resultat: $\mathbf{4x^2(x - 2)(x + 2)}$. (1 punt)
b) Resultat: $\mathbf{3x(x - 2)^2}$. (1 punt)
Calcula per $(x^3 + 4x^2 - 2x + 5) : (x + 3)$:
a) Quin és el polinomi quocient $q(x)$?
b) Quin és el residu $r$ de la divisió?
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) Quocient: $\mathbf{q(x) = x^2 + x - 5}$. (1 punt)
b) Residu: $\mathbf{r = 20}$. (1 punt)
Aplica el Teorema del Factor:
a) És $(x - 2)$ factor de $P(x) = x^3 - 3x^2 + 4$? (Escriu "si" o "no"):
b) Valor del paràmetre $m$ perquè $(x + 1)$ sigui factor de $Q(x) = 2x^3 + mx^2 - 5x + 1$:
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) Sí que és un factor ($P(2) = 0$). (1 punt)
b) $m = \mathbf{-4}$. (1 punt)
Factoritza completament $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$:
a) Quines són les arrels reals del polinomi ordenades de menor a major?
b) Quina és la factorització completa?
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) Arrels: $\mathbf{-2, 0, 3}$ (amb $0$ com a arrel doble). (1 punt)
b) Factorització: $\mathbf{2x^2(x - 3)(x + 2)}$. (1 punt)
Simplifica i opera amb fraccions algebraiques:
a) Multiplicació $\frac{x^2 - 1}{x + 3} \cdot \frac{2x + 6}{x - 1}$:
b) Divisió $\frac{x^2 - 9}{x^2} : \frac{x - 3}{x}$:
Solució detallada i rúbrica:
a) Resultat multiplicació: $\mathbf{2x + 2}$ (o $2(x+1)$). (1 punt)
b) Resultat divisió: $\mathbf{\frac{x + 3}{x}}$. (1 punt)