Simulacre d'Examen: Unitat 6

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) Traiem factor comú $4x^2$: $4x^2(x^2 - 4)$.
El parèntesi és una diferència de quadrats: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
Resultat complet: $\mathbf{4x^2(x - 2)(x + 2)}$.

b) Traiem factor comú $3x$: $3x(x^2 - 4x + 4)$.
El parèntesi és el quadrat d'una resta: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.
Resultat complet: $\mathbf{3x(x - 2)^2}$.

Solució detallada i puntuació:

1. Coeficients: $[1, 4, -2, 5]$. Valor per a Ruffini: $a = -3$. (0,5 punts)
2. Taula de Ruffini:
• Baixem l'1.
• $1 \cdot (-3) = -3 \implies 4 + (-3) = 1$.
• $1 \cdot (-3) = -3 \implies -2 + (-3) = -5$.
• $-5 \cdot (-3) = 15 \implies 5 + 15 = 20$. (1 punt)
3. Resultats:
• Quocient: $\mathbf{q(x) = x^2 + x - 5}$
• Residu: $\mathbf{r = 20}$ (0,5 punts)

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $(x - 2)$ és factor si $P(2) = 0$:
$P(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$.
Com que $P(2) = 0$, la divisió és exacta $\implies$ Sí que és un factor de $P(x)$.

b) $(x + 1)$ és factor si $Q(-1) = 0$:
$Q(-1) = 2(-1)^3 + m(-1)^2 - 5(-1) + 1 = 0 \implies -2 + m + 5 + 1 = 0 \implies m + 4 = 0 \implies \mathbf{m = -4}$.

Solució detallada i puntuació:

1. Extraiem el factor comú $2x^2$:
$P(x) = 2x^2(x^2 - x - 6)$. (0,75 punts)
2. Trobem les arrels del polinomi de 2n grau $x^2 - x - 6 = 0$:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \implies x_1 = 3, \, x_2 = -2$. (0,75 punts)
3. Descomposició factorial completa:
$\mathbf{P(x) = 2x^2(x - 3)(x + 2)}$. (0,5 punts)

Solució detallada i puntuació:

a) Factoritzem:
$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ i $2x + 6 = 2(x + 3)$.
Operem en línia: $\frac{(x - 1)(x + 1) \cdot 2(x + 3)}{(x + 3)(x - 1)} = 2(x + 1) = \mathbf{2x + 2}$.

b) Factoritzem $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ i multipliquem en creu:
$\frac{(x - 3)(x + 3) \cdot x}{x^2 \cdot (x - 3)} = \frac{x + 3}{x} = \mathbf{1 + \frac{3}{x}}$ (o $\mathbf{\frac{x + 3}{x}}$).