Simulacre d'Examen: Unitat 7

Solució detallada i puntuació:

a)
1) $120 \cdot \frac{\pi}{180} = \mathbf{\frac{2\pi}{3}\text{ rad}}$.
2) $225 \cdot \frac{\pi}{180} = \mathbf{\frac{5\pi}{4}\text{ rad}}$.
3) $330 \cdot \frac{\pi}{180} = \mathbf{\frac{11\pi}{6}\text{ rad}}$.
(1 punt: ~0,33 pt per conversió)

b)
1) $\frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 5 \cdot 30^\circ = \mathbf{150^\circ}$.
2) $\frac{4 \cdot 180^\circ}{3} = 4 \cdot 60^\circ = \mathbf{240^\circ}$.
(1 punt: 0,5 pt cadascun)

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \implies \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \implies \frac{9}{25} + \cos^2\alpha = 1$.
$\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \implies \cos\alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \mathbf{\frac{4}{5} = 0,8}$.

b) $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3/5}{4/5} = \mathbf{\frac{3}{4} = 0,75}$.
Angle: $\alpha = \arcsin(0,6) = \operatorname{arctg}(0,75) \approx \mathbf{36,87^\circ}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $\hat{B} = 90^\circ - 35^\circ = \mathbf{55^\circ}$.
$\sin(35^\circ) = \frac{a}{c} \implies a = 15 \cdot \sin(35^\circ) \approx 15 \cdot 0,5736 = \mathbf{8,60\text{ cm}}$.

b) $\cos(35^\circ) = \frac{b}{c} \implies b = 15 \cdot \cos(35^\circ) \approx 15 \cdot 0,8192 = \mathbf{12,29\text{ cm}}$.
Àrea: $\frac{a \cdot b}{2} = \frac{8,60 \cdot 12,29}{2} \approx \mathbf{52,85\text{ cm}^2}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) L'ombra és el catet contigu ($14\text{ m}$) i l'alçada és el catet oposat ($h$):
$\operatorname{tg}(52^\circ) = \frac{h}{14} \implies h = 14 \cdot \operatorname{tg}(52^\circ) \approx 14 \cdot 1,2799 = \mathbf{17,92\text{ metres d'alçada}}$.

b) La distància és la hipotenusa ($d$):
$\cos(52^\circ) = \frac{14}{d} \implies d = \frac{14}{\cos(52^\circ)} \approx \frac{14}{0,6157} = \mathbf{22,74\text{ metres}}$ (o per Pitàgores: $\sqrt{14^2 + 17,92^2} \approx 22,74\text{ m}$).

Solució detallada (1 punt per apartat):

a)
• Des del punt $A$: $\operatorname{tg}(35^\circ) = \frac{h}{x} \implies h = x \cdot \operatorname{tg}(35^\circ) \approx 0,7002x$.
• Des del punt $B$: $\operatorname{tg}(25^\circ) = \frac{h}{x + 30} \implies h = (x + 30) \cdot \operatorname{tg}(25^\circ) \approx 0,4663(x + 30)$.
Sistema: $\begin{cases} h = 0,7002x \\ h = 0,4663x + 13,989 \end{cases}$ (1 punt pel plantejament)

b) Igualem les dues expressions d'$h$:
$0,7002x = 0,4663x + 13,989 \implies (0,7002 - 0,4663)x = 13,989 \implies 0,2339x = 13,989$.
$x = \frac{13,989}{0,2339} \approx \mathbf{59,81\text{ metres}}$ (distància del punt $A$ a la base).
Alçada: $h = 59,81 \cdot \operatorname{tg}(35^\circ) \approx 59,81 \cdot 0,7002 \approx \mathbf{41,88\text{ metres}}$. (1 punt pel càlcul)