←
4t d'ESO Tema 7: Trigonometria
Temari 4t d'ESO
Unitat 07 • Matemàtiques 4t d'ESO

Trigonometria

Teoria completa i detallada explicada de forma visual, amb guies de resolució pas a pas i pràctica autònoma progressiva (mínim 8 exercicis per bloc).

1

Mesura d'Angles: Graus i Radiants

Unitats anglulars i factors de conversió

La trigonometria s'utilitza per calcular mides inalcançables (com l'alçada d'una muntanya o d'una torre) només mirant des de terra amb un angle determinat. Els angles es mesuren en graus (°) o en radiants (rad).

Cas Pràctic Visual: Com passar de graus a radiants

• Utilitzem la proporció clau: $180^\circ = \pi \text{ rad}$.

• Exemple: Per passar $90^\circ$ a radiants, multipliquem per $\frac{\pi}{180^\circ} \implies 90 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{2} \text{ rad}$.

$$180^\circ = \pi \text{ rad}$$

Pràctica 1: Conversió d'Angles i Radiants

0 / 8 resolts

Escriu el nombre de graus o el numerador del radiant (considerant $\pi \approx 3.1416$ o el valor exacte enter en graus):

1) $30^\circ$ a radiants ($\pi / ?$ $\rightarrow$ denominador)
2) $45^\circ$ a radiants ($\pi / ?$ $\rightarrow$ denominador)
3) $60^\circ$ a radiants ($\pi / ?$ $\rightarrow$ denominador)
4) $90^\circ$ a radiants ($\pi / ?$ $\rightarrow$ denominador)
5) $\pi \text{ rad}$ a graus
6) $\frac{\pi}{2} \text{ rad}$ a graus
7) $270^\circ$ a radiants (numerador si denominador és 2)
8) $360^\circ$ a radiants (coeficient de $\pi$)
2

Les Raons Trigonomètriques d'un Angle Agut (SOH-CAH-TOA)

Sinus, cosinus i tangent en triangles rectangles

En un triangle rectangle, les raons trigonomètriques relacionen els costats segons la posició respecte a l'angle: la hipotenusa, el catet oposat i el catet contigu.

Esquema Visual - Raons Trigonomètriques
Esquema visual de les Raons Trigonomètriques
Cas Pràctic Visual: Regla mnemotècnica SOH-CAH-TOA

• SOH: $\sin A = \frac{\text{oposat}}{\text{hipotenusa}}$

• CAH: $\cos A = \frac{\text{contigu}}{\text{hipotenusa}}$

• TOA: $\operatorname{tg} A = \frac{\text{oposat}}{\text{contigu}}$

Sinus ($\sin$) $\sin A = \frac{\text{oposat}}{\text{hipotenusa}}$
Cosinus ($\cos$) $\cos A = \frac{\text{contigu}}{\text{hipotenusa}}$
Tangent ($\operatorname{tg}$) $\operatorname{tg} A = \frac{\text{oposat}}{\text{contigu}}$

Pràctica 2: Càlcul de Raons Trigonomètriques

0 / 8 resolts

Escriu el valor decimal arrodonit a un decimal (per exemple, 0.6) o l'angle enter en graus:

1) Sinus (oposat=3, hip=5)
2) Cosinus (cont=4, hip=5)
3) Tangent (opos=3, cont=4)
4) Angle si $\sin A = 0.5$ (graus)
5) Angle si $\cos A = 0$ (graus)
6) Angle si $\operatorname{tg} A = 1$ (graus)
7) Oposat (hip=10, $30^\circ$)
8) Hipotenusa (cont=6, $45^\circ$, enter aproximat 8)
3

Resolució de Triangles Rectangles

Càlcul de costats i angles amb Pitàgores i raons

Resoldre un triangle significa trobar tots els costats i angles desconeguts utilitzant les raons trigonomètriques i el teorema de Pitàgores ($a^2 = b^2 + c^2$).

Esquema Visual - Triangles Rectangles
Esquema visual de la Resolució de Triangles Rectangles
Cas Pràctic Visual: Calcular l'alçada d'una rampa

• Si una rampa té una longitud de $510\text{ m}$ i forma un angle de $32^\circ$ amb terra, l'alçada vertical $a$ s'obté amb el sinus: $a = 510 \cdot \sin(32^\circ) \approx 270,25\text{ m}$.

Pràctica 3: Resolució de Triangles Rectangles

0 / 8 resolts

Escriu el valor numèric arrodonit a dos decimals de cada magnitud geomètrica:

1) Hipotenusa (catets 3 i 4)
2) Catet (hip=13, cat=5)
3) Alçada rampa (510m, $32^\circ$)
4) Distància far (675m, $42^\circ$)
5) Angle inclinació desnivell 10% (arctg 0.1 $\approx$ 5.71)
6) Alçada arbre (ombra 10m, $50^\circ$)
7) Alçada escala (5m, $60^\circ$)
8) Catet contigu (hip=8, $30^\circ$)
4

Problemes de Doble Tangent

Càlcul d'altures inalcançables amb dos angles

S'apliquen quan volem calcular l'alçada d'un edifici o torre inalcançable prenent dos angles d'observació des de punts diferents a terra. Es resol plantejant un sistema amb les dues tangents.

Esquema Visual - Problemes de Doble Tangent
Esquema visual dels Problemes de Doble Tangent
Cas Pràctic Visual: Plantejament de Doble Tangent

• Des del punt $A$ tenim $\operatorname{tg}(\alpha) = \frac{h}{x}$, i des del $B$ tenim $\operatorname{tg}(\beta) = \frac{h}{x + d}$. Igualem l'alçada $h$ per resoldre la distància $x$.

Pràctica 4: Problemes de Doble Tangent

0 / 8 resolts

Escriu l'alçada arrodonida a dos decimals de cada element inalcançable:

1) Torres ($30^\circ$ i $60^\circ$, sep 20m)
2) Arbre ($45^\circ$ i $60^\circ$, sep 10m)
3) Edifici ($30^\circ$ i $45^\circ$, sep 50m)
4) Antena ($40^\circ$ i $70^\circ$, dist 15m)
5) Muntanya ($20^\circ$ i $35^\circ$, 1 km)
6) Far ($25^\circ$ i $55^\circ$, 100 m)
7) Castell ($30^\circ$ i $60^\circ$, 40 m)
8) Monument ($50^\circ$ i $80^\circ$, 5 m)
Consolidació de la unitat

Avaluació Final del Tema 7

Comprova el teu domini fent el test ràpid de 4 preguntes i resolent els exàmens de mostra.

Qüestionari ràpid de repàs (4 preguntes)

1. A quants graus equivalen $\pi$ radiants?

2. Com es defineix el sinus d'un angle agut?

3. Quin és el valor de $\operatorname{tg}(45^\circ)$?

4. Quina raó trigonomètrica relaciona el catet contigu i la hipotenusa?

Dossiers d'Examen Simulats (Puntuació sobre 10)

Simulacre Model A

Control estàndard amb criteris de correcció

→
Simulacre Model B

Model alternatiu de repàs previ al control

→