Simulacre d'Examen: Unitat 7

Solució detallada (0,5 punts per cas):

• $\mathbf{A} = \sin(30^\circ) = \mathbf{\frac{1}{2}}$.

• $\mathbf{B} = \operatorname{tg}(30^\circ) = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{3}}$.

• $\mathbf{C} = \cos(45^\circ) = \mathbf{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

• $\mathbf{D} = \sin(60^\circ) = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $\sin^2\alpha + \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 \implies \sin^2\alpha + \frac{5}{9} = 1 \implies \sin^2\alpha = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
En ser agut ($\sin\alpha > 0$): $\sin\alpha = \sqrt{\frac{4}{9}} = \mathbf{\frac{2}{3}}$.

b) $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{2/3}{\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Racionalitzant: $\frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \mathbf{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $\operatorname{tg}\alpha = \frac{12}{100} = 0,12 \implies \alpha = \operatorname{arctg}(0,12) \approx \mathbf{6,84^\circ}$.

b) L'alçada vertical $h$ és el catet oposat i la distància sobre l'asfalt és la hipotenusa ($2.500\text{ m}$):
$\sin(6,84^\circ) = \frac{h}{2.500} \implies h = 2.500 \cdot \sin(6,84^\circ) \approx 2.500 \cdot 0,1192 = \mathbf{298\text{ metres de desnivell}}$
(o per Pitàgores amb la proporció: $\frac{12}{\sqrt{100^2+12^2}} \cdot 2.500 \approx 297,88\text{ m}$).

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) L'angle de depressió i l'angle d'elevació des del vaixell són angles alterns interns entre rectes paral·leles (la línia horitzontal d'observació i la superfície del mar), per tant són exactament iguals: $\alpha = 28^\circ$.

b) Catet oposat = $150\text{ m}$; Catet contigu = $x$:
$\operatorname{tg}(28^\circ) = \frac{150}{x} \implies x = \frac{150}{\operatorname{tg}(28^\circ)} \approx \frac{150}{0,5317} = \mathbf{282,11\text{ metres}}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a)
• Des de $A$: $\operatorname{tg}(60^\circ) = \frac{h}{x} \implies h = \sqrt{3}x$.
• Des de $B$: $\operatorname{tg}(30^\circ) = \frac{h}{x + 40} \implies h = \frac{\sqrt{3}}{3}(x + 40)$.
(1 punt pel plantejament)

b) Igualem totes dues expressions:
$\sqrt{3}x = \frac{\sqrt{3}}{3}(x + 40)$. Dividim entre $\sqrt{3}$ a ambdós costats:
$x = \frac{1}{3}(x + 40) \implies 3x = x + 40 \implies 2x = 40 \implies \mathbf{x = 20\text{ metres}}$.
Alçada de la torre:
$h = \sqrt{3} \cdot 20 = \mathbf{20\sqrt{3}\text{ m}} \approx \mathbf{34,64\text{ metres}}$. (1 punt pel càlcul)