Simulacre d'Examen: Unitat 8

Solució detallada i puntuació:

a)
• $\vec{AB} = B - A = (-4 - 2, 5 - (-3)) = \mathbf{(-6, 8)}$.
• $\vec{BA} = A - B = (2 - (-4), -3 - 5) = \mathbf{(6, -8)}$.
Relació: Són vectors oposats ($\vec{BA} = -\vec{AB}$); tenen el mateix mòdul i la mateixa direcció, però sentits oposats. (1 punt: 0,5 pt càlculs, 0,5 pt relació)

b) $A' = A + \vec{u} = (2 + 3, -3 + (-2)) = \mathbf{(5, -5)}$. (1 punt)

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $2(4, -2) - 3(-1, 3) + (2, 5) = (8, -4) - (-3, 9) + (2, 5) = (8 - (-3) + 2, -4 - 9 + 5) = \mathbf{(13, -8)}$.

b) $x(4, -2) + y(-1, 3) = (11, -8) \implies \begin{cases} 4x - y = 11 \\ -2x + 3y = -8 \end{cases}$.
Aïllem $y = 4x - 11$ i substituïm: $-2x + 3(4x - 11) = -8 \implies -2x + 12x - 33 = -8 \implies 10x = 25 \implies \mathbf{x = \frac{5}{2} = 2,5}$.
Calculem $y$: $y = 4(2,5) - 11 = 10 - 11 = \mathbf{-1}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $\|\vec{v}\| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = \mathbf{13}$.
Vector unitari: dividim cada component pel mòdul $\implies \mathbf{\vec{u_v} = \left(-\frac{5}{13}, \frac{12}{13}\right)}$.

b) $\|\vec{w}\| = \sqrt{k^2 + (-8)^2} = 10 \implies k^2 + 64 = 10^2 \implies k^2 + 64 = 100 \implies k^2 = 36 \implies \mathbf{k = \pm 6}$.

Solució detallada (1 punt per apartat):

a) $M = \left(\frac{1 + 7}{2}, \frac{4 + (-4)}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{0}{2}\right) = \mathbf{(4, 0)}$.

b) $\vec{PQ} = (7 - 1, -4 - 4) = (6, -8)$.
$d(P, Q) = \|\vec{PQ}\| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = \mathbf{10\text{ unitats}}$.

Solució detallada i puntuació:

a) $\vec{AB} = (3 - (-1), 5 - 2) = (4, 3)$.
Si $D(x, y)$, llavors $\vec{DC} = C - D = (5 - x, 1 - y)$.
Com que $\vec{AB} = \vec{DC} \implies (4, 3) = (5 - x, 1 - y) \implies \begin{cases} 4 = 5 - x \implies x = 1 \\ 3 = 1 - y \implies y = -2 \end{cases}$.
El vèrtex és: $\mathbf{D(1, -2)}$. (1 punt)

b)
• Punt mitjà de $AC$: $M_{AC} = \left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{2 + 1}{2}\right) = \mathbf{(2, 1,5)}$.
• Punt mitjà de $BD$: $M_{BD} = \left(\frac{3 + 1}{2}, \frac{5 + (-2)}{2}\right) = \mathbf{(2, 1,5)}$.
Efectivament, tots dos coincideixen en el punt $(2; 1,5)$, confirmant la propietat de les diagonals d'un paral·lelogram. (1 punt)