Vectors al Pla: Components, Mòdul, Operacions Lineals i Distàncies
Temps recomanat: 45 minuts
Normativa: Sense calculadora. Deixa els mòduls i distàncies expressats com a radicals simplificats.
Criteri d'avaluació: 5 preguntes (2 apartats cadascuna = 10 exercicis interactius).
Considerem els punts del pla cartesià $A(2, -3)$ i $B(-4, 5)$:
a) Calcula els components del vector $\vec{AB}$:
b) Si apliquem $\vec{u} = (3, -2)$ al punt $A(2, -3)$, quines són les coordenades del punt final $A'$?
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) $\vec{AB} = \mathbf{(-6, 8)}$. (1 punt)
b) $A' = \mathbf{(5, -5)}$. (1 punt)
Vectors $\vec{u} = (4, -2)$, $\vec{v} = (-1, 3)$ i $\vec{w} = (2, 5)$:
a) Calcula $2\vec{u} - 3\vec{v} + \vec{w}$:
b) Quin és el valor de l'escalar $x$ a $x\vec{u} + y\vec{v} = (11, -8)$?
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) Resultat: $\mathbf{(13, -8)}$. (1 punt)
b) $x = \mathbf{2,5}$ (o $\frac{5}{2}$). (1 punt)
Longituds i mòduls:
a) Quin és el mòdul del vector $\vec{v} = (-5, 12)$?
b) Si $\Vert{}\vec{w}\Vert{} = 10$ per a $\vec{w} = (k, -8)$, quin és el valor positiu de $k$?
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) Mòdul = $\mathbf{13}$. (1 punt)
b) $k = \mathbf{6}$ (o $-6$). (1 punt)
Punts $P(1, 4)$ i $Q(7, -4)$:
a) Quines són les coordenades del punt mitjà $M$ del segment $PQ$?
b) Quina és la distància exacta $d(P, Q)$?
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) Punt mitjà $M = \mathbf{(4, 0)}$. (1 punt)
b) Distància = $\mathbf{10}$. (1 punt)
Paral·lelogram $ABCD$ amb $A(-1, 2)$, $B(3, 5)$ i $C(5, 1)$:
a) Quines són les coordenades del quart vèrtex $D(x, y)$?
b) Quina és la coordenada $x$ del punt mitjà de la diagonal $AC$?
Solució detallada (1 punt per apartat):
a) Vèrtex $D = \mathbf{(1, -2)}$. (1 punt)
b) Coordenada $x$ del punt mitjà = $\mathbf{2}$ (punt $(2; 1,5)$). (1 punt)