←
4t d'ESO Tema 8: Vectors i Geometria
Temari 4t d'ESO
Unitat 08 • Matemàtiques 4t d'ESO

Vectors i Geometria Analítica

Apunts complets sobre vectors, operacions, components, mòduls, distàncies al pla i pràctica autònoma progressiva integrada immediatament sota cada bloc teòric.

1

Concepte de Vector i Característiques

Longitud, direcció i sentit al pla

Un vector fixat en l'espai entre dos punts $A$ i $B$ es representa com $\vec{AB}$. Es defineix per tres característiques essencials: longitud (o mòdul), direcció i sentit.

Esquema Visual - Concepte de Vector
Esquema visual del Concepte de Vector i Característiques
Cas Pràctic Visual: Vectors equipol·lents

• Dos vectors són el mateix vector si tenen la mateixa longitud, direcció i sentit, independentment d'on estiguin situats al pla (es poden traslladar fent línies paral·leles).

• El vector oposat de $\vec{u}$ té la mateixa longitud i direcció, però sentit contrari, i es denota com $-\vec{u}$.

Pràctica 1: Concepte i Suma Geomètrica de Vectors

0 / 8 resolts

Escriu el nombre de lletres o el tipus de resultat (1 per a vector directe, 0 per a vector nul $\vec{0}$):

1) $\vec{AB} + \vec{BC} \rightarrow$ segona lletra del resultat final (A, C...)
2) $\vec{AB} + \vec{BA} \rightarrow$ és vector nul? (1=Sí, 0=No)
3) $\vec{AD} + \vec{DC} \rightarrow$ segona lletra del resultat
4) $\vec{AD} + \vec{AB}$ (paral·lelogram) $\rightarrow$ segona lletra
5) $\vec{GH} + \vec{HM} \rightarrow$ segona lletra
6) Si un vector es multiplica per 2, la seva longitud es duplica? (1=Sí, 0=No)
7) $\vec{CA} + \vec{BC} \rightarrow$ segona lletra del resultat equivalent
8) Quin factor d'escala canvia el sentit i duplica la longitud? (-2) [Escriu 2]
2

Suma de Vectors i Producte per un Nombre

Operatòria algebraica amb coordenades

Esquema Visual - Operacions amb Vectors
Esquema visual de la Suma de Vectors i Producte per un Nombre

Suma de vectors ($\vec{u} + \vec{v}$): Es sumen component a component.

Si $\vec{u} = (u_1, u_2)$ i $\vec{v} = (v_1, v_2) \implies \vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2)$

Producte d'un nombre per un vector ($k \cdot \vec{u}$): Es multipliquen tots els components per l'escalar $k$.

$k \cdot \vec{u} = k \cdot (u_1, u_2) = (k \cdot u_1, k \cdot u_2)$

Pràctica 2: Suma i Producte Algebraic

0 / 8 resolts

Donats $\vec{u} = (3, 4)$ i $\vec{v} = (5, 2)$, escriu la primera component del vector resultant:

1) $\vec{u} + \vec{v} \rightarrow$ primera component
2) $2\vec{u} \rightarrow$ primera component
3) $3\vec{v} \rightarrow$ primera component
4) $2\vec{u} + 3\vec{v} \rightarrow$ primera component
5) $\vec{u} - \vec{v} \rightarrow$ primera component
6) $-\vec{u} \rightarrow$ primera component
7) $-4\vec{v} \rightarrow$ primera component
8) $3\vec{v} - 5\vec{u} \rightarrow$ primera component
3

Components d'un Vector a partir de l'Origen i l'Extrem

Càlcul de coordenades $\vec{AB} = B - A$

Si coneixem les coordenades de l'origen $A(x_1, y_1)$ i de l'extrem $B(x_2, y_2)$, els components del vector $\vec{AB}$ s'obtenen restant les coordenades de l'extrem menys les de l'origen.

Esquema Visual - Components d'un Vector
Esquema visual de les Components d'un Vector
Cas Pràctic Visual: Càlcul de $\vec{AB}$

• Donats $A(1, 3)$ i $B(4, 5) \implies \vec{AB} = (4 - 1, 5 - 3) = \mathbf{(3, 2)}$.

Pràctica 3: Càlcul de Components

0 / 8 resolts

Escriu la primera component del vector $\vec{AB}$:

1) $A(1, 3), B(4, 5) \rightarrow$ 1a component
2) $A(3, 5), B(6, 9) \rightarrow$ 1a component
3) $A(3, 8), B(5, 2) \rightarrow$ 1a component
4) $A(5, -7), B(3, 1) \rightarrow$ 1a component
5) $A(-2, 3), B(1, -4) \rightarrow$ 1a component
6) $A(0, 0), B(-3, 4) \rightarrow$ 1a component
7) $A(2, -4), B(-5, 1) \rightarrow$ 1a component
8) $A(2, -4), B(-6, -8) \rightarrow$ 1a component
4

Mòdul d'un Vector i Distància entre Dos Punts

Longituds i aplicació del teorema de Pitàgores

El mòdul d'un vector $\vec{u} = (a, b)$ és la seva longitud, calculada aplicant el teorema de Pitàgores:

Esquema Visual - Mòdul i Distància
Esquema visual del Mòdul d'un Vector i Distància entre Dos Punts
$$\|\vec{u}\| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

La distància entre dos punts $A$ i $B$, $d(A, B)$, coincideix exactament amb el mòdul del vector $\vec{AB}$.

Pràctica 4: Mòduls i Distàncies

0 / 8 resolts

Escriu el valor del mòdul o distància (enter o aproximat a 2 decimals):

1) $\|\vec{u}\|$ per $\vec{u} = (3, 4)$
2) $\|\vec{v}\|$ per $\vec{v} = (5, 10)$ ($\sqrt{125} \approx 11.18$)
3) $\|\vec{w}\|$ per $\vec{w} = (2, -1)$ ($\sqrt{5} \approx 2.24$)
4) $d(A, B)$ per $A(-1,1), B(-3,-2)$ ($\sqrt{13} \approx 3.61$)
5) $d(A, B)$ per $A(3,2), B(4,-5)$ ($5\sqrt{2} \approx 7.07$)
6) $d(A, B)$ per $A(-1,1), B(2,5)$
7) $\|\vec{u}\|$ per $\vec{u} = (-3, -3)$ ($3\sqrt{2} \approx 4.24$)
8) $\|\vec{u}\|$ per $\vec{u} = (-5, 0)$
Consolidació de la unitat

Avaluació Final del Tema 8

Comprova el teu domini fent el test ràpid de 4 preguntes i resolent els exàmens de mostra.

Qüestionari ràpid de repàs (4 preguntes)

1. Com s'obtenen els components de $\vec{AB}$ coneixent $A$ i $B$?

2. Quin és el mòdul del vector $\vec{u} = (3, 4)$?

3. Quina operació es fa per sumar dos vectors $\vec{u} + \vec{v}$?

4. Què representa la distància entre dos punts $d(A, B)$?

Dossiers d'Examen Simulats (Puntuació sobre 10)

Simulacre Model A

Control estàndard amb criteris de correcció

→
Simulacre Model B

Model alternatiu de repàs previ al control

→