Model B · Recuperació / Pràctica Reforç

Simulacre d'Examen: Unitat 8

Vectors Colineals, Càlcul Invers de Punts, Perímetres i Punts Alineats

10 Punts totals

Temps límit: 45 minuts

Instruccions: Sense calculadora. Justifica les condicions de proporcionalitat entre components.

Puntuació: 2 punts per exercici resolt completament.

1 Vectors paral·lels o colineals

2 punts

Dos vectors són paral·lels (tenen la mateixa direcció) si els seus components són proporcionals ($\frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2}$):

a) Comprova si els vectors $\vec{u} = (-2, 6)$ i $\vec{v} = (3, -9)$ són paral·lels. Quin és el coeficient de proporcionalitat $k$ tal que $\vec{v} = k\vec{u}$?

b) Troba el valor del component $m$ perquè el vector $\vec{w} = (6, m)$ tingui la mateixa direcció que $\vec{a} = (4, 10)$.

2 Càlcul invers d'un extrem a partir del punt mitjà

2 punts

Considerem un segment amb origen en el punt $A(-3, 7)$ i punt mitjà $M(2, 3)$:

a) Troba les coordenades de l'extrem desconegut $B(x_2, y_2)$ aplicant la definició de punt mitjà.

b) Comprova el resultat calculant el vector $\vec{AM}$ i sumant-lo directament al punt mitjà $M$ per obtenir $B$.

3 Punts alineats a la recta

2 punts

Tres punts $A, B$ i $C$ estan alineats si els vectors $\vec{AB}$ i $\vec{BC}$ són colineals (paral·lels):

a) Comprova analíticament si els punts $A(-2, 1)$, $B(1, 4)$ i $C(4, 7)$ estan situats sobre la mateixa recta.

b) Troba el valor del paràmetre $p$ perquè el punt $D(7, p)$ també estigui alineat amb els punts $A$ i $B$.

4 Perímetre d'un triangle al pla cartesià

2 punts

Els vèrtexs d'un triangle són els punts $A(-2, -1)$, $B(2, 2)$ i $C(2, -1)$.

a) Calcula la longitud de cadascun dels tres costats ($d(A, B), d(B, C)$ i $d(A, C)$) mitjançant el mòdul dels vectors corresponents.

b) Demostra que el triangle és rectangle aplicant el Teorema de Pitàgores als costats obtinguts i calcula'n el perímetre total.

5 Problema de context real: Navegació i desplaçament de vaixells

2 punts

Un vaixell de salvament surt del port situat a l'origen de coordenades $O(0, 0)$. Primer realitza un desplaçament representat pel vector $\vec{d_1} = (6, 8)$ milles nàutiques per atendre una boia. Després rep un avís d'emergència i realitza un segon desplaçament segons el vector $\vec{d_2} = (-2, 4)$ milles nàutiques.

a) Quines són les coordenades finals del vaixell respecte al port d'origen? Troba el vector de desplaçament total resultant $\vec{D} = \vec{d_1} + \vec{d_2}$.

b) A quina distància en línia recta es troba el vaixell del port un cop finalitzades les dues maniobres? Simplifica el radical resultant.